高中數學蘇教版選修2-2第一章導數及其應用word導學案含解析-資料下載頁

【導讀】“氣溫陡增”這一句生活用語,用數學方法如何刻畫?問題2如何量化(數學化)曲線上升的陡峭程度?解通過討論,給出函數f在區間[x1,x2]上的平均變化率:錯誤!,應注意分子、分。上的平均變化率就是直線AB的斜率.問題3回到問題情境中,從數和形兩方面對平均變化率進行意義建構.日的日平均變化率為.自變量的增量Δx;[題后反思]求平均變化率時關鍵在于理解定義,知道Δx與Δy分別指的是什么.變式若質點運動規律為S=5t+3,則在時間[3,3+Δt]中,相應的平均速度等于5.[規范板書]解84m/min=,時間為x,根據相似三角形列式錯誤!x,人影長度變化速率為。[題后反思]幾何類應用題需觀察圖形,數形結合地考慮問題.[處理建議]引導學生利用平均變化率的概念解題.0到x0+Δx之間的平均變化率.周期間日營業額的平均變化率是400.的直線l,這條直線是過點P的所有直線中最逼近曲線的一條直線.Q為曲線上不同于點P的一點,這時,直線PQ稱為曲線的割線;里平均變化率表現為什么?

　　

【正文】 2 可由 y=u2,u=3x1 復合而成 ,y 關于 u 的導數記為 y39。u,y39。u=2u,將 u 關于 x 的導數記為 u39。x,即 u39。x=(3x1)39。=3,因而有 y39。x=y39。uu39。x. 問題 2 (教材第 23 頁 )求函數 y=sin2x 的導數 . 解 一方面 ,y39。x=(sin2x)39。=(2sinxcosx)39。=2cos2x. 另一方面 ,函數 y=sin2x 可由 y=sinu,u=2x 復合而成 ,y 關于 u 的導數記為 y39。39。u=cosu,將 u 關于 x 的導數記為 u39。x,即 u39。x=(2x)39。=2,因而有 y39。x=y39。uu39。x. 二、 數學建構 問題 3 舉例說明哪些函數是復合函數 ?[2] 問題 4 怎樣求復合函數的導數 ?[3] 一般地 ,若 y=f(u),u=ax+b, 則 y39。x=y39。uu39。x=ay39。u. 法則理解 1. 復合函數對自變量的導數 ,等于已知函數對中間變量 u 的導數 ,乘以中間變量 u 對自變量 x 的導數 。 2. 求復合函數的導數 ,關鍵在于分清函數的復合關系 ,合理選定中間變量 ,明確求導過程中每次是哪個變量相對于哪個變量求導 。 3. 法則可以推廣到兩個以上的中間變量 ,但不要求掌握 . 三、 數學運用 【 例 1】 (教材第 24 頁例 2)求下列函數的導數 : (1) y=錯誤 !未找到引用源。 。 (2) y=cos(12x). (見學生用書 P15) [處理建議 ] 讓學生練習對復合函數進行分解 ,再運用法則求導 . [規范板書 ] 解 (1) 函數 y=錯誤 !未找到引用源。 可由 y=錯誤 !未找到引用源。 ,u=3x1 復合而成 , 則 y39。x=y39。uu39。x=錯誤 !未找到引用源。 3=錯誤 !未找到引用源。 3=錯誤 !未找到引用源。 . (2) 函數 y=cos(12x)可由 y=cosu,u=12x 復合而成 , 則 y39。x=y39。uu39。x=(cosu)39。(2)=(sinu)(2)=2sin(12x). [題后反思 ] (1) 對于簡單復合函數的求導 ,要注意分析復合函數的結構 ,適當選取中間變量 。 (2) 弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導 ,不要混淆 。 (3) 求導的次序是由外向內 。 (4) 復合函數求導的基本步驟是 :分解 —求導 —相乘 —回代 . 變式 求函數 y=錯誤 !未找到引用源。 的導數 . [ 規范板書 ] 解 y= 錯誤 !未 找 到 引 用 源 。 =(3x1)4. 設 y=u4,u=3x1, 則y39。x=y39。uu39。x=(u4)39。(3x1)39。=4u53=12u5=12(3x1)5= 錯誤 !未找到引用源。 . [ 題后反思 ] 熟 練 掌 握 求 導 法 則 后 , 本 例 可 以 直 接 寫 成y39。x=[(3x1)4]39。=4(3x1)53=12(3x1)5=錯誤 !未找到引用源。 . 【 例 2】 求曲線 y=sin2x 在點 P錯誤 !未找到引用源。 處的切線方程 .(見學生用書 P16) [處理建議 ] 學生討論、判斷 ,并且由學生給出理由 . [規范板書 ] 解 設 f(x)=sin2x,則 f39。(x)=2cos2x,故曲線在點 P(π,0)處的切線方程為2x+yπ=0. 四、 課堂練習 1. 函數 y=cos(12x)的導數 y39。=2sin(12x). 2. 若 y=e2x1,則 y39。=2e2x1. 3. 函數 y=x錯誤 !未找到引用源。 的導數 y39。=錯誤 !未找到引用源。 . 4. 若某港口在一天 24 h內潮水高度近似地滿足關系 S(t)=3sin錯誤 !未找到引用源。 (0≤t≤24),則 18 點時潮水起落的速度為多少 ? 解 S39。(t)=3cos 錯誤 !未找到引用源。 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 cos 錯誤 !未找到引用源。 , 所以 S39。(18)=錯誤 !未找到引用源。 cos 錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 ,即 18點時潮水速度為 錯誤 !未找到引用源。 . 五、 課堂小結 1. 對于簡單復合函數的求導 ,要注意分析復合函數的結構 ,關鍵在于分清函數的復合關系 ,適當選取中間變量 ,利用冪函數的求導公式 . 2. 一些根式函數或分母上是冪函數、分子為常數的分式函數 ,通常經過變形 ,轉化成冪函數 ,這樣求導起來會比較方便 . 3. 求導的次序是由外向內 . 4. 復合函數求導的基本步驟是 :分解 —求導 —相乘 —回代 . 第 9 課時 單調性 教學過程 一、 問題情境 導數和單調性都是對函數上升和下降的變化趨勢的刻畫 ,導數與函數的單調性有什么關系呢 ? 二、 數學建構 問題 1 由函 數 f(x)在區間 (a,b)上是增函數 ,對于任意 x1,x2∈ (a,b),當 x1x2時 ,函數f(x)在區間 [x1,x2]上的平均變化率的正負如何 ?[2] 解 導數大于 0 與函數遞增密切相關 . 問題 2 函數 f(x)在區間 (a,b)上是減函數 ,你又能推出什么結論呢 ? 解 導數小于 0 與函數遞減密切相關 . 問題 3 怎樣用數學語言刻畫導數的正負與函數的單調性的關系 ?[3] 解 一般地 ,我們有以下結論 : 對于函數 y=f(x), 如果在某區間上 f39。(x)0,那么 f(x)為該區間上的增函數 。 如果在某區間上 f39。(x)0,那 么 f(x)為該區間上的減函數 . 問題 4 你能結合具體函數圖象得到上述結論嗎 ? 解 以 y=x24x+9 為例 . 從函數的圖象可以看出 :在區間 (2,+∞)上 ,切線的斜率為正 ,函數 y=f(x)在區間 (2,+∞)上為增函數 。在區間 (∞,2)上 ,切線的斜率為負 ,函數 y=f(x)在區間 (∞,2)上為減函數 . 問題 5 函數 f(x)在某區間上單調遞增 (或遞減 ),那么在該區間上必有 f39。(x)0 或f39。(x)0 嗎 ? 上述的條件和結論對調后 ,結論正確嗎 ?如果不正確 ,你能舉出反例嗎 ?[4] 概念理解 1. 若某個區間內恒有 y39。=0,則 f(x)為常數 . 2. y39。0(或 y39。0)是函數在區間上單調遞增 (或遞減 )的充分不必要條件 . 三、 數學運用 【 例 1】 (教材第 29 頁例 3)確定函數 f(x)=sinx,x∈ [0,2π]的單調遞減區間 .(見學生用書 P18) [規范板書 ] 解 f39。(x)= f39。(x)0,即 cosx0,又 x∈ [0,2π],所以 x∈ 錯誤 !未找到引用源。 ,故所求的的單調遞減區間為 錯誤 !未找到引用源。 . [題后反思 ] 本題也可直接利用函數的圖象得出 ,求導的方法不是唯一的方法 ,也不一定是最好的方法 ,但它是一種一般性的方法 .學習數學 ,是為了分析問題、解決問題的 ,從以上3 個例題中 ,可讓學生體會到導數在研究函數單調性中的有效性和一般性 . 【 例 2】 求函數 f(x)=3x22lnx 的單調區間 . [處理建議 ] 先考慮定義域 ,再根據導數知識來求解 . [規范板書 ] 解 定義域為 (0,+∞),f39。(x)=6x錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 .由 f39。(x)0 ? x錯誤 !未找到引用源。 。由 f39。(x)0 ? 0x錯誤 !未找到引用源。 .故 f(x)的單調增區間為 錯誤 !未找到引用源。 ,單調減區間為 錯誤 !未找到引用源。 . [題后反思 ] 任何函數問題 ,定義域都是關鍵前提 . 【 例 3】 若函數 f(x)=x2+錯誤 !未找到引用源 。 (x≠0,a∈ R)在 [2,+∞)上的導數的值不是負數 ,求實數 a 的取值范圍 . [處理建議 ] 讓學生分析 “不是負數 ”包含正數和 0 兩種情況 ,之后根據題意來反推 . [規范板書 ] 解 ∵ f39。(x)=2x錯誤 !未找到引用源。 ≥0在 [2,+∞)上恒成立 ,∴ 錯誤 !未找到引用源。 ≤2x,即 a≤2x3. ∵ x≥2,∴ 2x3≥16,∴ a≤16. [題后反思 ] 恒成立問題優先考慮用參變分離來處理解決 . *【 例 4】 已知函數 f(x)=kx33(k+1)x2k2+1(k0),若 f(x)的單調遞減區間是 (0,4). (1) 求 k 的值 。 (2) 當 xk 時 ,求證 :2 錯誤 !未找到引用源。 3錯誤 !未找到引用源。 . [規范板書 ] 解 (1) f39。(x)=3kx26(k+1)x=3kx錯誤 !未找到引用源。 ,k0. 由題意 f39。(x)=0 的兩根為 0 和 4,故 錯誤 !未找到引用源。 =4,解得 k=1. (2) 令 g(x)=2錯誤 !未找到引用源。 +錯誤 !未找到引用源。 3,g39。(x)=錯誤 !未找到引用源。 錯誤 !未找到引用源。 , 當 x1 時 ,g39。(x)0,g(x)=2錯誤 !未找到引用源。 +錯誤 !未找到引用源。 3在 (1,+∞)上遞增 , 又因為 g(1)=0,xk=1,所以 g(x)0, 故 2 錯誤 !未找到引用源。 3錯誤 !未找到引用源。 . 四、 課堂練習 1. 設 f(x)=x2(2x),則 f(x)的單調遞增區間是 錯誤 !未找到引用源。 . 2. 若函數 f(x)=x3ax2+1 在 (0,2)內單調遞減 ,則實數 a 的取值范圍為 [3,+∞). 3. 求函數 f(x)=2x2lnx 的單調區間 . 解 增區間為 錯誤 !未找到引用源。 ,減區間為 錯誤 !未找到引用源。 . 4. 已知 a0,函數 f(x)=x3ax 在 [1,+∞)上是單調遞增函數 ,求實數 a 的取值范圍 . 解 f39。(x)=3x2a,函數 f(x)=x3ax在 [1,+∞)上是單調遞增函數 ,則當 x∈ [1,+∞)時 ,f39。(x)≥0恒成立 ,即 x∈ [1,+∞)時 a≤3x2 恒成立 ,得 a≤ a0,所以 0a≤3. 五、 課堂小結 1. 導數的正負與函數單調 性之間的關系 . 2. 利用導數判斷函數單調性的步驟 : (1) 確定函數 f(x)的定義域 。(2) 求出函數的導數 。(3) 解不等式 f39。(x)0,得函數的單調遞增區間 。解不等式 f39。(x)0,得函數的單調遞減區間 . 3. 求函數的單調區間 ,求導的方法不是唯一的方法 ,也不一定是最好的方法 ,但它是一種一般性的方法 .對于不熟悉的函數 ,常常利用導數法來研究函數的單調性 . 第 10 課時 極大值與極小值 (1) 教學過程 一、 問題情境 (圖 1) 觀察給定函數圖象 ,在 P 和 Q 兩側圖象的單調性變化 : P 點處從左側 到右側由上升變為下降 (函數由單調遞增變為單調遞減 ),這時在點 P 附近 ,點 P 的位置最高 。 Q 點處從左側到右側由下降變為上升 (函數由單調遞減變為單調遞增 ),這時在點 Q附近 ,點 Q 的位置最低 .[1] 二、 數學建構 問題 1 上述的結論如果用數學語言該怎樣來描述 ?[2] 解 1. 極大值點 :已知函數 f(x),設 x1是定義域內一點 ,如果在 x1 附近的所有的 x,都有f(x)f(x1),就說函數 f(x)在 x1處取得極大值 ,把 x1 稱為 f(x)的一個極大值點 。 極小值點 :已知函數 f(x),設 x2 是定義域內一點 ,如果在 x2 附近的 所有的 x,都有 f(x)f(x2),就說函數 f(x)在 x2處取得極小值 ,把 x2 稱為 f(x)的一個極小值點 . 2. 極大值 :稱 f(x1)為函數 f(x)的一個極大值 。 極小值 :稱 f(x2)為函數 f(x)的一個極小值 . 極大值與極小值統稱為極值 . 問題 2 在定義域內 ,函數的極大值是唯一的嗎 ?函數的極大值一定大于其極小值嗎 ? 函數的極值點可能在區間的端點產生嗎 ?試作圖說明 .[3] 問題 3 極值點處導數有何特點 ?當 f39。(x0)=0 時 ,能否肯定函數 f(x)在 x0 處取得極值 ?[4] 問題 4 函數的極值與函數的導數有怎樣的 關系 ?[5] 3. 函數極值與導數關系 : 如果 f39。(x0)=0,且在 x0 的附近的左側 f39。(x0)0,右側 f39。(x0)0,那么 f(x0)是極大值 。如果f39。(x0)=0,且在 x0 的附近的左側 f39。(x0)0,右側 f39。(x0)0,那么 f(x0)是極小值 . 表 1 x x1 左側 x1 x1 右側 f39。(x) f39。(x)0 f39。(x)=0 f39。(x)0 f(x) 增 ↗ 極大值 f(x1) ↘ 減 表 2 x x2 左側 x2 x2 右側 f39。(x) f39。(x)0 f39。(x)=0 f39。(x)0 f(x) ↘ 減 極小值 f(x2) 增 ↗ 概念理解 1. 取得極值的點稱為極值點 ,極值點是自變量的值 ,極值指的是函數值 . 2. 極值是一個局部的概念 ,極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較