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蘇教版高中數學選修1-124拋物線拋物線的標準方程同步測試題-資料下載頁

2025-11-26 09:20本頁面

【導讀】3．已知點P為拋物線y2＝2x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點A的坐標是(72，5．設O為坐標原點，F為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若OA→·AF→＝－4，7．設F為拋物線y2＝4x的焦點，A、B、C為該拋物線上三點．若FA→＋FB→＋FC→＝0，則|FA→。|＋|FB→|＋|FC→|＝________.A，B滿足OA⊥OB.求△AOB的重心G的軌跡方程；若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．。1解析：拋物線的方程可化為x2＝1ay，∵準線方程為y＝2，∴－14a＝2，則a＝－18.解得m＝14，n＝34，∴mn＝316.時，PA＋PM才有最小值，此時PA＋PM＝PA＋PF－12＝FA－12＝72－122＋42－12＝92.4解析：∵點M到對稱軸的距離為6，根據拋物線的定義，AF＋BF＝AA′＋BB′，2＋t2≥a2，即t2≥0，∴t2＋16－8a≥0，即t2≥8a－16恒成立，則8a－16≤0，∴a≤2.10解：由拋物線方程y2＝－2px(p>0)，得其焦點坐標為F，準線方程為x＝p2，由①得x1＋x2＝3x，∴△AOB的面積存在最小值，最小值為1.

　　

【正文】定義知， PH＝ PF.∴ PA＋ PF＝ PA＋ PH，故當 H、 P、 A三點共線時， PA＋ PF最小． ∴ PA＋ PF的最小值為 p2＋ 2＝ 4， ∴ p＝ 4， ∴ 拋物線 C的方程為y2＝ 8x. 12解： (1)設 △ AOB的重心 G的坐標為 (x， y)，點 A(x1， y1)， B(x2， y2)，則????? x＝ x1＋ x23 ， ①y＝ y1＋ y23 .② ∵ OA⊥ OB， ∴ kOA kOB＝－ 1，即 x1x2＋ y1y2＝ 0.③ 又 ∵ 點 A， B在拋物線上， ∴ y1＝ x21， y2＝ x22，代入 ③ 化簡得 x1x2＝－ 1. 由 ① 得 x1＋ x2＝ 3x， ∴ y＝ y1＋ y23 ＝ 13(x21＋ x22)＝ 13[(x1＋ x2)2－ 2x1x2]＝ 3x2＋ 23. 故 △ AOB的重心 G的軌跡方程為 y＝ 3x2＋ 23. (2)S△ AOB＝ 12|OA|| OB|＝ 12 x21＋ y21 x22＋ y22 ＝ 12 x21x22＋ x21y22＋ x22y21＋ y21y22. 由 (1)得 S△ AOB＝ 12 x21＋ x22＋ 2≥ 12 2 x21 x22＋ 2 ＝ 12 2 － 2＋ 2＝ 122 ＝ 1. 當且僅當 x21＝ x22，即 x1＝－ x2＝ 1時，等號成立． ∴△ AOB的面積存在最小值，最小值為 1.

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