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蘇教版必修4高中數學24向量的數量積練習含解析-資料下載頁

2025-11-26 10:15本頁面

【導讀】是向量，大家自然要問：兩個向量是否可以相乘？當θ為________時，b在a上投影為正；當θ為________時，b在a上的投影為負；3．a，b同向時，a²b＝______，當a與b反向時，a²b＝________，特別地a²a＝。5．向量數量積的運算律為a²b＝________；(λa)²b＝________＝________；(a＋。答案：b²aλa²(λb)a²c＋b²c. 6．兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和．即若a＝，b＝，9．若a＝，b＝，a、b的夾角為θ，則有cosθ＝________________．。特別提示：當0≤θ＜π2時，cosθ＞0，從而a²b＞0；當π2＜0≤π時，cosθ＜。數量積的幾何意義：數量積a²b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ。特別地，a²a＝|a|2或|a|＝a²a＝a2，a²a也可記作a2.非零向量b，都有a²b＝0.a²b＝b²c不能推出a＝，雖然a²b＝b²c，但a≠c.未必成立．這是因為c表示一個與c共線的向量，而a表示一個與a共線的向。設a＝(x，y)，|a|2＝a²a＝(x，y)²(x，y)＝x2＋y2，故|a|＝x2＋y2，即向量的長度。＋AC→²CB→＝16，

　　

【正文】 |a|＝ 2， |b|＝ 3， |c|＝ 1. ∴ a178。 b＝ |a||b|cos 120176。＝－ 3， b178。 c＝ |b||c|cos 120176。＝－ 32， a178。 c＝ |a||c|cos 120176。＝－ 1. ∴ |a＋ b＋ c|2＝ (a＋ b＋ c)2＝ |a|2＋ |b|2＋ |c|2＋ 2a178。 b＋ 2b178。 c＋ 2a178。 c＝ 4＋ 9＋ 1－ 6－3－ 2＝ 3. ∴ |a＋ b＋ c|＝ 3. 18．已知 a、 b是非零向量，當 a＋ tb(t∈R) 的模取最小值時． (1)求 t的值； (2)求證： b⊥( a＋ tb)． (1)解析： |a＋ tb|＝（ a＋ tb） 2＝ a2＋ t2b2＋ 2ta178。 b＝ |a|2＋ |b|2t2＋ 2a178。 bt＝ |b|2t2＋ 2a178。 bt＋ |a|2，當 t＝－ 2a178。 b2|b|2＝－ a178。 b|b|2時， |a＋ tb|有最小值．故 |a＋ tb|取最小值時， t＝－ a178。 b|b|2. (2)證明： ∵ b178。( a＋ tb)＝ b178。 a＋ tb2＝ a178。 b＋ ??? ???－ a178。 b|b|2 178。 |b|2＝ a178。 b－ a178。 b＝ 0， ∴ b⊥( a＋ tb)． 19．已知 a為非零向量，向量 a與 b 的夾角為 120176。，向量 a－ 3b與向量 7a＋ 5b互相垂直，問：是否存在實數 λ ，使得向量 a－ 4b與向量 λa － b互相垂直？解析： ∵( a－ 3b)⊥(7 a＋ 5b)， ∴ (a－ 3b)178。(7 a＋ 5b)＝ 0. 即： 7|a|2－ 15|b|2－ 16a178。 b＝ 0.① 假設 λ 存在，則由 (a－ 4b)⊥( λa － b)得： (a－ 4b)178。( λa － b)＝ 0，即： λ |a|2＋ 4|b|2－ (1＋ 4λ )a178。 b＝ 0.② 又 a178。 b＝－ 12|a||b|， ③ 令 |a|＝ |b|，聯立 ① 、 ② 、 ③ 得： ??????λ ＋ 4＋ 1＋ 4λ2 |a|2＝ 0. ∵ a≠0 ， ∴ |a|0. ∴ λ ＋ 4＋ 1＋ 4λ2 ＝ 0，即 λ ＝－ 32. 故存在實數 λ ＝－ 32，滿足條件． 20．已知 △ ABC是邊長為 2的正三角形，設 BC→ ＝ 2BD→ ， CA→ ＝ 3CE→ ，求 AD→ 178。 BE→ . 解析： ∵ BC→ ＝ 2BD→ ， CA→ ＝ 3CE→ ， ∴ AD→ 178。 BE→ ＝ (AB→ ＋ BD→ )178。( BC→ ＋ CE→ )＝ ??? ???AB→ ＋ 12BC→ 178。 ??? ???BC→ ＋ 13CA→＝ AB→ 178。 BC→ ＋ 13AB→ 178。 CA→ ＋ 12BC→ 2＋ 16BC→ 178。 CA→ ＝－ BA→ 178。 BC→ － 13AB→ 178。 AC→ ＋ 12BC→ 2－ 16CB→ 178。 CA→ ＝－ 2179。 2179。 cos 60176。－ 13179。 2179。 2179。 cos 60176。＋ 12179。 22－ 16179。 2179。 2179。 cos 60176。＝－ 2－ 23＋ 2－ 13＝－ 1.

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