高中數學必修知識點總結完整版-資料下載頁

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【正文】 確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對于條件 S 的確定事件； （ 4）隨機事件：在條件 S 下可能發生也可能不發生的事件，叫相對于條件 S 的隨機事件； （ 5）頻數與頻率：在相同的條件 S 下重復 n 次試驗，觀察某一事件 A 是否出現，稱 n 次試 驗中事件 A 出現的次數 nA 為事件 A 出現的頻數；稱事件 A 出現的比例 nA fn(A)= n 為事件 A 出現的概率：對于給定的隨機事件 A，如果隨著試驗次數的增加， 事件 A 發生的頻率 fn(A)穩定在某個常數上， 把這個常數記作 P （ A） ， 稱為事件 A 的概率。 （ 6）頻率與概率的區別與聯系：隨機事件的頻率，指此事件發生的次數 nA 與試驗總次數 n nA 的比值 n ，它具有一定的穩定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數叫做隨機事件的概率， 概率從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小。 頻率在大量重復試驗的前 提下可以近似地作為這個事件的概率 概率的基本性質 基本概念： （ 1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件 （ 2）若 A∩B 為不可能事件，即 A∩B=ф，那么稱事件 A 與事件 B 互斥； （ 3）若 A∩B 為不可能事件， A∪ B 為必然事件，那么稱事件 A 與事件 B 互為對立事件； （ 4）當事件 A 與 B 互斥時，滿足加法公式： P(A∪ B)= P(A)+ P(B)；若事件 A 與 B 為對立 事件，則 A∪ B 為必然事件，所以 P(A∪ B)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1— P(B) 概率的基本性質： 1）必然事件概率為 1，不可能事件概率為 0，因此 0≤P(A)≤1； 2）當事件 A 與 B 互斥時，滿足加法公式： P(A∪ B)= P(A)+ P(B)； 3）若事件 A 與 B 為對立事件，則 A∪ B 為必然事件，所以 P(A∪ B)= P(A)+ P(B)=1，于 是有 P(A)=1—P(B)； 4）互斥事件與對立事件的區別與聯系，互斥事件是指事件 A 與事件 B 在一次試驗中不 會同時發生，其具體包括三種不同的情形： （ 1）事件 A 發生且事件 B 不發生； （ 2）事件 A 不發生且事件 B 發生； （ 3）事件 A 與事件 B 同時不發生，而對立事件是指事件 A 與 事件 B 有且僅有一個發生，其包括兩種情形； （ 1）事件 A 發生 B 不發生； （ 2）事件 B 發 生事件 A 不發生，對立事件互斥事件的特殊情形。 — 古典概型及隨機數的產生 （ 1）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。 （ 2）古典概型的解題步驟； ① 求出總的基本事件數； A包含的基本事件數 ② 求出事件 A 所包含的基本事件數，然后利用公式 P（ A） = 總的基本事件個數 — 幾何概型及均勻隨機數的產生 — 基本概念： （ 1） 幾何概率模型： 如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度 （面積或體積） 成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型； （ 2）幾何概型的概率公式： 構成事件 A的區域長度（面積或體積） ； P（ A） = 試驗的全部結果所構成的區域長度（面積或體積）（ 3）幾何概型的特點： 1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個； 2）每 個基本事件出現的可能性相等． 19 高中數學必修 4 知識點總結 第一章 三角函數（初等函數二） ?????正 角 : 按 逆 時 針 方 向 旋 轉 形 成 的 角1 、 任 意 角 負 角 : 按 順 時 針 方 向 旋 轉 形 成 的 角零 角 : 不 作 任 何 旋 轉 形 成 的 角 角 ? 的頂點與原點重合，角的始邊與 x 軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱 ? 為第幾象限角． 第一象限角的集合為 ? ?3 6 0 3 6 0 9 0 ,k k k??? ? ? ? ? ? ? 第二象限角的集合為 ? ?3 6 0 9 0 3 6 0 1 8 0 ,k k k? ? ? ? ? ? ? ? 第三象限角的集合為 ? ?3 6 0 1 8 0 3 6 0 2 7 0 ,k k k??? ? ? ? ? ? ? ? 第四象限角的集合為 ? ?3 6 0 2 7 0 3 6 0 3 6 0 ,k k k??? ? ? ? ? ? ? ? 終邊在 x 軸上的角的集合為 ? ?1 8 0 ,kk?? ? ? ? ? 終邊在 y 軸上的角的集合為 ? ?1 8 0 9 0 ,kk?? ? ? ? ? ? 終邊在坐標軸上的角的集合為 ? ?9 0 ,kk?? ? ? ? ? 與角 ? 終邊相同的角的集合為 ? ?3 6 0 ,kk? ? ?? ? ? ? ? 已知 ? 是第幾象限角，確定 ? ?*nn? ?? 所在象限的方法：先把各象限均分 n 等份，再從 x 軸的正半軸的上方起，依次將各區域標上一、二、三、四，則 ? 原來是第幾象限對應的標號即為 n? 終邊所落在的區域． 長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做 1弧度． 半徑為 r 的圓的圓心角 ? 所對弧的長為 l ，則角 ? 的弧度數的絕對值是 lr?? ． 弧度制與角度制的換算公式： 2 360?? ， 1 180?? ， 1801 ?????????． 20 Pv x y A O M T 若扇形的圓心角為 ? ???為 弧 度 制 ，半徑為 r ，弧長為 l ，周長為 C ，面積為 S ，則 lr?? ， 2C r l??， 21122S lr r???． 設 ? 是一個任意大小的角， ? 的終邊上任意一點 ? 的坐標是 ? ?,xy ，它與原點的距離是 ? ?22 0r r x y? ? ?，則 sin yr??， cos xr??， ? ?tan 0y xx? ??． 三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正． 1三角函數線： sin???? ， cos???? ， tan???? ． 1同角三角函數的基本關系： ? ? 221 sin co s 1???? ? ?2 2 2 2sin 1 c o s , c o s 1 sin? ? ? ?? ? ? ?； ? ? sin2 tancos? ?? ? sinsin ta n c o s , c o s ta n ?? ? ? ? ?????????． 1三角函數的誘導公式： ? ? ? ?1 s in 2 s ink? ? ???， ? ?co 2 co sk? ? ???， ? ? ? ?ta n 2 ta nkk? ? ?? ? ? ?． ? ? ? ?2 s in s in? ? ?? ? ?， ? ?co cos? ? ?? ? ?， ? ?tan tan? ? ???． ? ? ? ?3 sin sin??? ? ?， ? ?cos cos???? ， ? ?tan tan??? ? ? ． ? ? ? ?4 sin sin? ? ???， ? ?cos cos? ? ?? ? ?， ? ?tan tan? ? ?? ? ?． 口訣：函數名稱不變，符號看象限． ? ?5 si n c os2? ??????????， cos sin2? ??????????． ? ?6 si n c os2? ??????????， c os si n2? ????? ? ????? ． 口訣：正弦與余 弦互換，符號看象限． 1函數 sinyx? 的圖象上所有點向左（右）平移 ? 個單位長度，得到函數? ?sinyx???的圖象；再將函數 ? ?sinyx???的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的 1? 倍（縱坐標不變），得到函數 ? ?sinyx????的圖象；再將函數? ?sinyx????的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的 ? 倍（橫坐標不變），得到函數 ? ?sinyx??? ? ?的圖象． 21 函數 sinyx? 的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的 1?倍（縱坐標不變），得到函數 sinyx?? 的圖象；再將函數 sinyx?? 的圖象上所有點向左（右）平移 ?? 個單位長度，得到函數 ? ?sinyx????的圖象；再將函數 ? ?sinyx????的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的 ? 倍（橫坐標不變），得到函數? ?sinyx??? ? ?的圖象． 函數 ? ?? ?s i n 0 , 0yx? ? ?? ? ? ? ? ?的性質： ① 振幅： ? ； ② 周期： 2???? ； ③ 頻率： 1 2f ????? ； ④ 相位： x??? ； ⑤ 初相： ? ． 函數 ? ?sinyx??? ? ? ? ?，當 1xx? 時，取得最小值為 miny ；當 2xx? 時，取得最大值為 maxy ，則 ? ?m ax m in12 yy? ? ?， ? ?m ax m in12 yy? ? ?， ? ?2 1 1 22 x x x x? ? ? ?． 1正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質： sinyx? cosyx? tanyx? 圖象 定義域 R R ,2x x k k????? ? ? ????? 值域 ? ?1,1? ? ?1,1? R 最值 當 2 2xk????? ?k??時， max 1y ? ；當2 2xk???? ? ?k?? 時， min 1y ?? ． 當 ? ?2x k k?? ??時， max 1y ? ；當 2xk???? ? ?k?? 時， min 1y ?? ． 既無最大值也無最小值 周 2? 2? ? 函 數 性 質 22 期性 奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 單調性 在 2 , 222kk???????????? ? ?k?? 上是增函數；在 32 , 222kk???????????? ? ?k?? 上是減函數． 在 ? ?? ?2 , 2k k k? ? ?? ? ?上是增函數；在? ?2 ,2kk? ? ?? ? ?k?? 上是減函數． 在 ,22kk???????????? ? ?k?? 上是增函數． 對稱性 對稱中心? ?? ?,0kk? ?? 對稱軸? ?2x k k??? ? ? ? 對稱中心? ?,02kk????? ? ????? 對稱軸 ? ?x k k?? ?? 對稱中心? ?,02k k????????? 無對稱軸 第二章 平面向量 1向量：既有大小，又有方向的量． 數量：只有大小，沒有方向的量． 有向線段的三要素：起點、方向、長度． 零向量：長度為 0 的 向量． 單位向量：長度等于 1個單位的向量． 平行向量（共線向量）：方向相同或相反的 非零 向量．零向量與任一向量平行． 相等向量：長度相等且 方向相同 的向量． 1向量加法運算： ⑴ 三角形法則的特點：首尾相連． ⑵ 平行四邊形法則的特點：共起點． 23 ⑶ 三角形不等式： a b a b a b? ? ? ? ?． ⑷ 運算性質： ① 交換律： a b b a? ? ? ； ② 結合律： ? ? ? ?a b c a b c? ? ? ? ?； ③ 00a a a? ? ? ?． ⑸ 坐標運算：設 ? ?11,a x y? ， ? ?22,b x y? ，則 ? ?1 2 1 2,a b x x y y? ? ? ?． 1向量減法運算： ⑴ 三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量． ⑵ 坐標運算：設 ? ?11,a x y? ， ? ?22,b x y? ，則 ? ?1 2 1 2,a b x x y y? ? ? ?． 設 ? 、 ? 兩點的坐標分別為 ? ?11,xy ， ? ?22,xy ，則 ? ?1 2 1 2,x x y y?? ? ? ?． 1向量數乘運算： ⑴ 實數 ? 與向量 a 的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作 a? ． ① aa??? ； ② 當 0?? 時， a? 的方向與 a 的方向相同；當 0?? 時， a? 的方向與 a 的方向相反；當 0?? 時， 0a?? ． ⑵ 運算律： ① ? ? ? ?aa? ? ??? ； ② ? ?a a a? ? ? ?? ? ?； ③ ? ?a b a b? ? ?? ? ?． ⑶ 坐標運算：設 ? ?,a x y? ，則 ? ? ? ?,a x y x y? ? ? ???． 20