高考數(shù)學(xué)直線和圓的方程考點(diǎn)歸納-wenkub.com

　 　

【正文】 （ I）證明 .FMAB 為定值； （ II）設(shè) ABM? 的面積為 S，寫出 ()Sf?? 的表達(dá)式，并求 S 的最小值。 點(diǎn)評(píng) ： 本題只要解得 22,ab即可得到雙曲線的方程，沒有必要求出 ,ab的值；在求解的過程中也可以用換元思想，可能會(huì)看的更清楚。BF1F2例 2 192522 ?? yx 上不同三點(diǎn) ? ?11 yxA ， ， ?????? 594，B， ? ?22 yxC ， 與焦點(diǎn) ? ?04，F(xiàn) 的距離成等差數(shù)列． 求證 : 821 ??xx ； 證明： 由橢圓方程知 5?a ， 3?b ， 4?c ． 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：acxcaAF ?? 12，∴ 11 545 xexaAF ????． 同理 2545 xCF ??． ∵ BFCFAF 2?? ，且 59?BF ， ∴ 518545545 21 ??????? ???????? ? xx，即 821 ??xx ． 第 3 課 雙曲線 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 1. 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程 ,了解其幾何性質(zhì) 2. 能用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 221mx y??的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的 2 倍，則 14m?? 2. 方程 133 22 ???? kykx 表示雙曲線，則 k 的范圍是 33kk? ??或 3．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y 軸的雙曲線的漸近線方程為 xy 21?? ，則此雙曲線的離心率為 5 4. 已知焦點(diǎn) 12(5, 0), ( 5, 0)FF? ，雙曲線上的一點(diǎn) P 到 12,FF的距離差的絕對(duì)值等于 6 ，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2219 16xy?? 【 范例導(dǎo)析 】 例 1. (1) 已知雙曲線的焦點(diǎn)在 y 軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn) 12,PP坐標(biāo)分別為 9(3, 4 2 ), ( ,5)4? ，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 。 ① 又由點(diǎn) M在橢圓上，得 y2=b2 222 xab? ，代入①，得 x2c2 2222 bxab ?? ，即22222 cbaax ?? 。 【 分析 】 ①列方程組求得 P 坐標(biāo)；②解幾中的最值問題通常可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)求解，要注意橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)的范圍 . 解：（ 1）由已知可得點(diǎn) A(－ 6,0),F(0,4) 設(shè)點(diǎn) P(x ,y ),則 AP =（ x +6, y ） ,FP =（ x － 4, y ） ,由已知可得 22213 6 2 0( 6 )( 4 ) 0xyx x y? ?????? ? ? ?? 則 2 2x +9x － 18=0, x =23或 x =－ 6. 由于 y 0,只能 x =23 ,于是 y = 235 . ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)是 (23 , 235 ) (2) 直線 AP 的方程是 x － 3 y +6=0. 設(shè)點(diǎn) M(m ,0),則 M 到直線 AP 的距離是 26?m . 于是 26?m = 6m? ,又－ 6≤m ≤6,解得 m =2. 橢圓上的點(diǎn) (x ,y )到點(diǎn) M 的距離 d 有 2 2 2 2 2 25 4 9( 2) 4 4 20 ( ) 159 9 2d x y x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 由于－ 6≤m ≤6, ∴ 當(dāng) x =29 時(shí) ,d 取得最小值 15 點(diǎn)撥 :本題考查了二次曲線上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離范圍問題，通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題 . 【反饋練習(xí)】 222 ??kyx 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 （ 0， 1） F 、 F2，過 F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn) P，若△ F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 21? 312 22 yx ? =1 的焦點(diǎn)為 F1和 F2，點(diǎn) P 在橢圓上 .如果線段 PF1 的中點(diǎn)在 y 軸上，那么 |PF1|是 |PF2|的7 倍 2215xym??的離心率 105e? ,則 m 的值為 253 3或 5.．橢圓 134 22 ?? yx 的右焦點(diǎn)到直線 xy 3? 的距離為 32 22143xy??具有相同的離心率且過點(diǎn)（ 2， 3 ）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 22186xy??或2234125 25yx??新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:/:/新疆 1416 22 ?? yx 上的點(diǎn)到直線 022 ??? yx 的最大距離是 10 8. 已知 P 點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn)的距離分別為 354 和 352 ，過 P 點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程． 分析： 討論橢圓方程的類型，根據(jù)題設(shè)求出 a 和 b （或 2a 和 2b ）的值．從而求得橢圓方程． 解： 設(shè)兩焦點(diǎn)為 1F 、 2F ，且 3541 ?PF， 3522 ?PF． 從橢圓定義知 522 21 ??? PFPFa ．即 5?a ． 從 21 PFPF ? 知 2PF 垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸，所以在 12FPFRt? 中，21sin 1221 ??? PFPFFPF， 可求出 621 ??? FPF，3526c o s2 1 ??? ?PFc，從而 310222 ??? cab ． ∴所求橢圓方程為 11035 22 ?? yx 或 15103 22 ?? yx ． 第 2 課 橢圓 B 【考點(diǎn) 導(dǎo)讀 】 1. 掌握橢圓的第二定義 ,能熟練運(yùn)用兩個(gè)定義解決橢圓的有關(guān)問題 。 【 分析 】 由所給條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟是：①定位 ,即確定橢圓的焦點(diǎn)在哪軸上；②定量，即根據(jù)條件列出基本量 a、 b、 c 的方程組，解方程組求得 a、 b 的值 。圓錐曲線問題的基本特點(diǎn)是解題思路比較簡(jiǎn)單清晰，解題方法的規(guī)律性比較強(qiáng)，但是運(yùn)算過程往往比較復(fù)雜，對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力，恒等變形能力，數(shù)形結(jié)合能力及綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的能力要求較高。而圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，因而成為高考考查的重點(diǎn)。 又 ? ? 22222 2 2222 2 ( 4 4 )4 ( 2 2 ) 22aa a aaar a a a ?? ? ???? ? ? ? ? 當(dāng) min2, 2ar??，所以半徑最小的圓方程為 ? ? ? ?221 1 2xy? ? ? ? 例 2 求半徑為 4，與圓 042422 ????? yxyx 相切，且和直線 0?y 相切的圓的方程 ． 分析： 根據(jù)問題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解． 解： 則題意，設(shè)所求圓的方程為圓 222 )()( rbyaxC ????： ． 圓 C 與直線 0?y 相切，且半徑為 4，則圓心 C 的坐標(biāo)為 )4,(1 aC 或 )4,(2 ?aC ． 又已知圓 042422 ????? yxyx 的圓心 A 的坐標(biāo)為 )1,2( ，半徑為 3． 若兩圓相切，則 734 ???CA 或 134 ???CA ． (1)當(dāng) )4,(1 aC 時(shí)， 222 7)14()2( ????a ，或 222 1)14()2( ????a (無(wú)解 )，故可得 1022??a ． ∴所求圓方程為 222 4)4()1022( ????? yx ，或 222 4)4()1022( ????? yx ． (2)當(dāng) )4,(2 ?aC 時(shí)， 222 7)14()2( ?????a ，或 222 1)14()( ?????a (無(wú)解 )，故 622??a ． ∴所求圓的方程為 222 4)4()622( ????? yx ，或 222 4)4()622( ????? yx ． 【反饋練習(xí)】 x,y 的方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示一個(gè)圓的充要條件是 B=0 且 A=C≠ 0,D2+E24AF＞ 0 P(8， 1)， Q(5， 12)， R(17， 4)三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)是 (5， 1) y=x+2k 與 y=2x+k+1 的交點(diǎn) P 在圓 x2+y2=4 的內(nèi)部，則 k 的范圍是 1 15 k? ? ? （ 2， 3），一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好落在兩個(gè)坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是22 4 6 0x y x y? ? ? ? y=3x+1 與曲線 x2+y2=4 相交于 A、 B 兩點(diǎn)，則 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)是 31,10 10??????? 21 1 ( 1)xy? ? ? ?表示的曲線是 _兩個(gè)半圓 2)4()3( 22 ???? yx 關(guān)于直線 0??yx 的對(duì)稱圓的方程是 22( 4 ) ( 3) 2xy? ? ? ? x、 y滿足等式 ? ?2 223xy? ? ?，那么 yx的最大值是 3 )1,1(?A 和圓 4)7()5(: 22 ???? yxC ，求一束光線從點(diǎn) A經(jīng) x軸反射到圓周 C的最短路程為 ___8___ 10． 求經(jīng)過點(diǎn) A(5,2),B(3,2),圓心在直線 2x─y─3=0上的圓的方程 。 ，利用三角換元或數(shù)形結(jié)合求最值問題，題型難度以容易題和中 檔題為主 . 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 A(3，－ 2)， B(－ 5， 4)，以線段 AB 為直徑的圓的方程為 (x + 1)2 + (y－ 1)2 = 25 A（ 1，－ 1）、 B（－ 1， 1）且圓心在直線 x＋ y－ 2＝ 0 上的圓的方程是 （ x－ 1） 2＋（ y－ 1） 2＝ 4 C 的半徑為 2，圓心在 x 軸的正半軸上，直線 0443 ??? yx 與圓 C 相切，則圓 C 的方程為0422 ??? xyx 22 4 2 0x y x y c? ? ? ? ?與 y 軸交于 A、 B兩點(diǎn)，圓心為 P，若∠ APB=120176。 或 90176。若直線 l 的斜率存在，則設(shè) l 的方程為 y=k（ x3） +1， 解方程組 ? ?1031xyy k x? ? ???? ? ? ???得 A（ ,123??kk － 114??kk ） 解方程組 ? ?6031xyy k x? ? ???? ? ? ???得 B（ 173??kk ， － 119??kk ） 由 |AB|=5 得 23 2 3 711kk???????????+ 24 1 9 111kk????????????=25， 解之，得 k=0，即所求的直線方程為 y=1。 （２） m＝－１或 m＝０時(shí) 1l ∥ 2l ， （３）當(dāng) m＝３時(shí) 1l 與 2l 重合。 |PB|= | | | | 4 4sin cos sin 2P E P F? ? ?? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng) θ=4? 時(shí) , |PA|178。 |PB|取最小值時(shí) ,求直線 l 的方程 . 分析 ： 引進(jìn)合適的變量 ,建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù) ,通過尋找函數(shù)最值的取得條件來(lái)求 l 的方程 . 解 （ 1）設(shè)直線 l 的方程為 y1=k(x2),則點(diǎn) A(21k,0),B(0,12k),且 21k0, 12k0,即 k0. △ AOB 的面積 S=12(12k)(21k)=12[(4k)+ 1k?+4]≥ 4,當(dāng) 4k=1k?,即 k= 12?時(shí) , △ AOB的面積有最小值 4,則所求直線方程是 x+2y4=0. (2)解法一 :由題設(shè) ,可令直線方程 l為 y1=k(x2). 分別令 y=0和 x=0,得 A(21k,0),B(0,12k), ∴ |PA|178。高中數(shù)學(xué) 精講精練 第八章 直線和圓的方程 【 知識(shí) 圖解】 【 方 法點(diǎn)撥 】 1．掌握直線的傾斜角，斜率以及直線方程的各種形式，能正確地判斷兩直線位置關(guān)系，并能熟練地利用距離公式解決有關(guān)問題．注意直線方程各種形式應(yīng)用的條件．了解二元一次不等式表示的平面區(qū)域，能解決一些簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題． ,并能夠熟練運(yùn)用對(duì)稱性來(lái)解決問題 . 3．熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求圓的方程 ． 4．處理解析幾何問題時(shí)，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面： (1)根據(jù)圖形的性質(zhì)，建立與之等價(jià)的代數(shù)結(jié)構(gòu) 。 |PB|= 222211( 4 4 ) (1 ) 8 4 ( ) 4kkkk? ? ? ? ? ?,當(dāng)且僅當(dāng) k2=1,即 k=177。 |PB|取得最小值 4,此時(shí)直線 l 的斜率為 1, 直線 l 的方程是 x+y3=0. 點(diǎn)評(píng) ①求直線方程的基本方法包括利用條件直接求直線的基本量和利用待定系數(shù)法求 直線的基本量 .②在研究最值問題時(shí)，可以從幾何圖形開始，找到取最值時(shí)的情形，也可以從代數(shù)角度出發(fā)，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等知識(shí)來(lái)求最值 . 例 l 被兩條直線 l1： 4x＋ y＋ 3＝ 0 和 l2： 3x－ 5y－ 5＝ 0 截得的線段中點(diǎn)為 P（－ 1， 2） .求直線 l的方程 . 分析 本題關(guān)鍵是如何使用好中點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)問題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化 . 解： 解法一 設(shè)直線 l 交 l1于 A（ a， b），則點(diǎn)（－ 2－ a， 4－ b）必在 l2，