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lyapunov穩(wěn)定性ppt課件(已改無錯字)

2023-02-14 04:13:51 本頁面

　　

【正文】 ???????)1( 221221xxxxxx??試用 Lyapunov第二方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 [解 ]易知系統(tǒng)的平衡點是原點 Te ]00[?x2221)(V xx ??x候選 ? ? 222221 )1(222)(V xxxx ???? xx ??100)(V 22 ???? xx 或的情況有：可以看出使 x?。不衡等于動解，故他們不是系統(tǒng)的受擾運知代入狀態(tài)方程可以驗算或分別將0)(10 22xVxx????定的。知系統(tǒng)是大范圍漸進穩(wěn)以及半負定但不衡等于正定，由????)(l i m0)()(xxxxVVV ? Example 3 ????????212211xxxxxx??試用 Lyapunov第二方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 [解 ]易知系統(tǒng)的平衡點是原點 Te ]00[?x2221)(V xx ??x候選? ? 222121 2222)(V xxxx ??? xx ??所以系統(tǒng)不穩(wěn)定的。正定。正定，易知 )()( xx VV ? 補充評注 4 Lyapunov函數(shù)不是唯一的。 5 關于穩(wěn)定性的條件是充分的，不是必要的。 6 如果系統(tǒng)的原點是穩(wěn)定的或漸進穩(wěn)定的，則 Lyapunov函數(shù)是一定存在的。 7 Lyapunov函數(shù)只能判定其定義域內平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，對于非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)也能提供大范圍穩(wěn)定的信息。線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù) nr a n k AtA ??? ,0,xx?LTI系統(tǒng)大范圍一致漸進穩(wěn)定判別定理： xxxxxxxxxx)()()(PAPAPPVPVTTTTT????????取標量函數(shù)及其推導如下：則系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的充要條件是，對任意給定的一個正定對稱矩陣 Q，有唯一的正定對稱矩陣 P使李雅普諾夫（矩陣代數(shù)）方程成立，即 xxx QVQPAPA TT ????? )(?則令QPAPA T ???22x 2 除較為簡單的情形外，應用該判據(jù)的困難主要在于 Lyapunov方程的求解。因此，在系統(tǒng)控制理論中， Lyapunov判據(jù)的意義主要在于理論分析和推導的應用。實際中可以借助 MATLAB軟件來求解。評注 1 矩陣 Q可以任意選取。常將矩陣 Q取為單位陣，以簡化計算過程 3 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的所有特征值均具有負實部。基于此理解，提供了把 Lyapunov判據(jù)推廣為其他形式的可能。 Example 4 21221 2, xxxxx ??? ??已知 LTI自治系統(tǒng) ?????????????22121211,ppppPPIQPAPA TT試用李雅普諾夫方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解： ???????????????????????????????????? 1001121011202212121122121211pppppppp??????????????????11134122121211ppppP由于 p110，故 P非正定，可知系統(tǒng)非漸進穩(wěn)定。 Example 5 xx ?????????3211?IppppppppPAPA T ?????????????????????????????????3211312123312331用李雅普諾夫方法判定如下 LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解： ??????????????????????????????????????8583473213213231042126142pppppppppp????????83858547P由于 p110， |P|0，可知系統(tǒng)在原點漸進穩(wěn)定。離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù) nr a n k GkkGk ???? ,0),()1( xxLTI離散系統(tǒng)一致漸進穩(wěn)定判別定理：原點平衡處漸進穩(wěn)定的充分必要條件為 G的全部特征值的幅值均小于 1。即當且僅當對任一給定 n維正定對稱矩陣 Q，離散 Lyapunov方程有惟一正定對稱 n維解陣 P。 QPPGG T ???22x Example 6 )()1( kk xx ??????????IppppppppPPGG T ???????????????????????????????

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