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高中數學北師大版選修2-1第三章12《橢圓的簡單性質》-預覽頁

2025-12-18 17:04 上一頁面

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【正文】是一個焦點， A 是一個頂點，若橢圓的長軸長是 6 ，且 co s ∠ OF A ＝23，則橢圓的標準方程為 ________________ ．解析： ∵ 橢圓的長軸長是 6 ， c os ∠ OF A ＝23， ∴ 點 A 不是長軸的端點 ( 是短軸的端點 ) ． ∴ | OF |＝ c ， | AF |＝ a ＝ 3 ， ∴c3＝23. ∴ c ＝ 2 ， b2＝ 32－ 22＝ 5. ∴ 橢圓的方程是x29＋y25＝ 1 或x25＋y29＝ 1. 答案： x29 ＋y 25 ＝ 1 或x 25 ＋y 29 ＝ 1 解：若橢圓的焦點在 x 軸上，設方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) ．由題意得????? 2 a ＝ 3 2 b ，a ＝ 3 ，解得????? a ＝ 3 ，b ＝ 1. ∴ 橢圓方程為x29＋ y2＝ 1 ； 5．已知橢圓的長軸長是短軸長的 3倍，且過點 A(3,0)，求橢圓的標準方程．若橢圓的焦點在 y 軸上，設方程為y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0) ，由題意得????? 2 a ＝ 3 2 b ，b ＝ 3 ，解得????? a ＝ 9 ，b ＝ 3. ∴ 橢圓方程為y281＋x29＝ 1. 綜上所述，橢圓的標準方程為x29＋ y2＝ 1 或y281＋x29＝ 1. [例 3] (12分 )如圖所示，橢圓的中心在原點，焦點 F1， F2在 x軸上， A， B是橢圓的頂點， P是橢圓上一點，且 PF1⊥ x軸， PF2∥ AB，求此橢圓的離心率． [思路點撥 ] 求橢圓的離心率就是設法建立 a、 c的關系式，此題可利用 kPF2＝ kAB以及 a2＝ c2＋ b2來建立 a、 c的關系． [ 精解詳析 ] 設橢圓的方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) ．則有 F1( － c, 0) ， F2( c, 0) ， A (0 ， b ) ， B ( a, 0) ， (3 分 ) 直線 PF1的方程為 x ＝－ c ，代入方程x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ，得 y ＝

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