微分方程及其應用ppt課件(存儲版)

　　

【正文】 ? ? ?53f x x e??又 中 ,λ =2 是特征單根， ? ? 2 xpy x a x b e??所 以 ,令? ? ? ?2 2 222 xxpy a x b e a x b x e? ? ? ? ?于 是? ? ? ?2 2 2 22 4 2 4x x xpy a e a x b e a x b x e? ? ? ? ? ?代入原方程得： ? ? ? ?2 2 2 22 4 2 4x x xa e a x b e a x b x e? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 22 2 4 5 3x x xa x b e a x b x e x e? ? ? ? ? ?整理得： ? ?4 2 2 5 3a x a b x? ? ? ?比較兩端得 5144ab??，于是 2 2 25 1 5 14 4 4 4xxpy x x e x x e? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?故所給方程的通解為 2 2 2125144xxy C C e x x e??? ? ? ?????8 4 c o s 2 .yy?? ??例 求 微 分 方 程 的 一 個 特 解 解 特征方程為 2 40r ??特征根為 1222r i r i? ? ?? ? c o s 2 ,f x x?又 中 2ii??? ? ? 是 特 征 根? ?0, c o s 2 s in 2xpy x e A x B x??所 以 令代入原方程得 4 s i n 2 4 c o s 2 c o s 2A x B x x? ? ?比較等式兩端得： 014AB???? ???于是 1s in 24py x x?29 4 3 c o s 2 .xy y e x?? ? ? ?例 求 微 分 方 程 的 一 個 特 解? ? ? ? ? ? 212 3 c o s 2xf x f x f x e x? ? ? ?解 因 為由線性微分方程解的結構定理可知 ， 所給方程的特解形式為 12p p py y y??12ppyy其 中 與 分 別 是 方 程 24 3 4 c o s 2xy y e y y x?? ??? ? ? ?和的特解． 22134 3 .8xxpy y e y e?? ? ? ?可 以 求 出 的 一 個 特 解 為4 c o s 2y y x?? ??由 上 例 知 的 一 個 特 解 為21 s i n 24py x x?因此所給方程的特解為 21231 s i n 2 .84xp p py y y e x x? ? ? ? 常微分在經濟應用 .1 關于商品需求方面 例 某商品的需求量Q是價格 P 的函數 , 已知它的需求價格彈性為l n 5P? ??, 若該商品的最大需求量為 12 00kg（P的單位為元） . （ 1 ）試求需求量Q與價格P的函數關系式 。 注：在微分方程中 ， 如果未知函數是一元函數 ， 則方程稱為常 微分方程 ， 簡稱微分方程 。 求降落傘下落速度與時間的函 數關系 . 解 設 降落傘下落速度為 v(t)時傘所受空氣阻力為 k （ 負號表示阻力與運動方向相反 （ k為常數 ） 傘在下降過程中還受重力 P = mg作用， 由牛頓第二定律得 0 0tdvm m g k v vdt ?? ? ?且于是所給問題歸結為求解初值問題 0 0tdvm m g k vdtv ?? ????? ??d v d tm g k v m??分 離 變 量 得 , d v d tm g k v m????兩 邊 積 分 得11 ln tm g k v Ckm? ? ? ?11,k tkCmmgv C e C ekk? ???? ? ?????整 理 得00,m g m gC e Ckk? ? ?由 初 始 條 件 得 , 即1k tmmgvek????? ????故 所 求 特 解 為 由此可見，隨著 t的增大，速度趨于常數 mg/k，但不會超過 mg/k，這說明跳傘后，開始階段是加速運動，以后逐漸趨于勻 速運動 . 一階線性微分方程 一階線性微分方程 1．定義： 形如 ? ? ? ? ( 1 )dy P x y Q xdx ?? 的方程 ， 稱為一階線性微分方程 ， 其中 P(x)、 Q(x)是已知的連 續函數 , Q(x)稱為自由項 ． 特點： 方程中的未知函數 y及導數 dydx都是一次的． 2． 分類 若 Q(x)= 0, 即 ? ? 0 ( 2 )dy P x ydx ?? 稱為一階線性齊次微分方程 ． 若 Q(x)≠ 0, 則方程 (1)稱為一階線性非齊次微分方程 ． y x y x? ??如 是 非 齊 次 方 程 ，2 01d y x yd x x??? 是 齊 次 方 程 ，s i nx y y x? ?? 是 非 齊 次 方 程 .3．一階線性齊次方程的解法 ? ? 0dy P x ydx ?? 類型： 可分離變量的微分方程 ． ? ?1 d y P x d xy ??分 離 變 量 得? ?l n l ny P x d x C? ? ??兩 邊 積 分 得? ? 3P x d xy C e ? ??即 （ ）其中 C 為任意常數 . 4． 一階線性非齊次方程的解法 用常數變易法． ? ? ? ? 1dy P x y Q xdx ??設 （ ） 在方程 （ 1） 所對應的齊次方程的通解的基礎上進行變易 , 假設方程（ 1）有如下形式的解： ? ? ? ?P x d xy C x e ???其中 C（ x）為待定函數． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 P x d x P x d xC x e P x C x e Q x?? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ?代 入 方 程 （ ） 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?P x d x P x d x P x d xC x C x e C x e P x P x C x e Q x? ? ???? ? ?? ? ? ? ????? ????? ? ? ? ? ?P x d xC x Q x e ?? ?即? ? ? ? ? ?P x d xC x Q x e C?? ? ??于是方程 (1)的通解為： ? ? ? ? ? ? 4P x d x P x d xy e Q x e d x C? ??????????? （ ）（ 4） 式稱為一階線性非齊次方程 （ 1） 的通解公式 ． 上述求解方法稱為常數變易法 ． 用常數變易法求一階線性非齊次方程的通解的一般步驟為： (1)先求出非齊次線性方程所對應的齊次方程的通解； (2)根據所求出的齊次方程的通解設出非齊次線性方程的解將所求 出的齊次方程的通解中的任意常數 C改為待定函數 C(x)即可； (3)將所設解帶入非齊次線性方程，解出 C(x)，并寫出非齊次線性 方程的通解． ln1 y x xyx?? ?例 求 方 程 的 通 解 .1 lny y xx? ??解 原 方 程 可 變 形 為① ① 式對應的齊次方程為 10yyx???② 將方程②分離變量得 dy dxyx?兩邊積分得 ln ln lny x C??