關于使用eviews進行主成分分析和因子分析方法的ppt講義(更新版)

　　

【正文】 大。 pmpmpppmmmmFlFlFlZFlFlFlZFlFlFlZ???????????????????????221122222121211212111139 式（ ）進一步可以表示為下面的矩陣形式 （ ） 其中， F = (F1, F2 , …, Fm)?； ? = (?1, ?2 , …, ?p)?。為了使得這些因子能很好的替代原始數據，需要對這些因子給出合理的解釋。也可以根據需要保存對應得分的載荷、特征值和特征向量。 29 30 圖 主成分估計對話框（ 3） 變量載荷圖（ Variable loadings plot）給出對應主成分的變量載荷系數，從圖中可以看出如何根據原始變量合成新的主成分；成分得分圖（ Component scores plot）顯示對應于樣本區間內的觀測值成分的得分值；biplot (Biplots (scores loadings))則表示在一個圖中同時顯示載荷系數和得分值。 表的第二部分描述了線性組合的系數，第一個主成分（標為“ PC1”）大約等于所有 5個一致指標的線性組合，它可以解釋為一般的經濟景氣指數。 22 1． Components選擇紐 Components按鈕用于設定顯示主成分和保存方差的特征值和特征向量。第三個經驗的判斷方法是只保留那些方差大于 1的主成分。設從均值向量為 ?，協方差矩陣為 ? 的 p 維總體中得到的 n 個樣本，且樣本數據矩陣為 （ ） ?????????????????npnnppnxxxxxxxxx???????21222211121121 ),( xxxx16 則樣本協方差矩陣為： （ ） 其中 : （ ） 樣本相關矩陣為： （ ） 樣本協方差矩陣 S 是總體協方差矩陣 ? 的無偏估計量，樣本相關矩陣 是總體相關矩陣 R 的估計量。因此，主成分的求解轉變為求 X1, X2, …, Xp 協方差矩陣 ? 的特征值和特征向量的問題。 (2) Y1在滿足約束 (1) 即的情況下，方差最大； Y2是在滿足約束 (1) ，且與 Y1不相關的條件下，其方差達到最大； …… ；Yp是在滿足約束 (1) ，且與 Y1， Y2， … ， Y p1不相關的條件下，在各種線性組合中方差達到最大者。 本章介紹的主成分分析和因子分析可用于解決這類問題 。 主成分分析 3 主成分分析的基本思想 假如對某一問題的研究涉及 p 個指標，記為 X1， X2, …, Xp，由這 p 個隨機變量構成的隨機向量為 X=(X1, X2, …, Xp)?，設 X 的均值向量為 ?，協方差矩陣為 ?。 122221 ???? ipii aaa ?1?? iaa i6 總體主成分求解及其性質 變量的方差大小及其對原始變量波動 (方差 )的貢獻大小，而對于原始隨機變量 X1， X2， … ， Xp，其協方差矩陣或相關矩陣正是對各變量離散程度和相關程度的度量。 pi????? ?21 pmpiimjj ????? 11??12 性質 3 記第 k個主成分 Yk 與原始變量 Xi 的相關系數為r(Yk， Xi)，稱為因子載荷，或者因子負荷量，則有 （ ） pkieeXYXYXYriikkiiikkikikikik,2,1,)var()var(),cov (),(??????????13 3．從相關矩陣出發求解主成分 在實際應用時，為了消除原始變量量綱的影響，通常將數據標準化。通常需要綜合考慮樣本總方差的量、特征值的相對大小以及各成分對現實的闡述。特別的，本例利用主成分分析降維的思想，提取主成分（ PCA），并與合成指數 CI的結果進行比較。 23 圖 主成分估計對話框 (1) 24 25 表頭描述了觀測值的樣本區間、計算離差矩陣的方法以及保留成分的個數（在這個例子中顯示了所有的 5個主成分）。表 量，根據式（ ）可以得到對應的主成分序列。在該對話框中，還可以設定計算使用的觀測值樣本。 圖 第一主成分 (PCA，左坐標 ), 一致合成指數 (CI，右坐標 ) 36 因子分析 因子分析（ factor analysis，簡稱 FA）是主成分分析的推廣，相對于主成分分析，因子分析更側重于解釋被觀測變量之間的相關關系或協方差之間的結構。 本節將從這幾個角度給出詳細的介紹。 IFFFF0F ???? )(),cov(,)( EE??????????????????pE?????????000000)(),cov (21Ψεεεε,)( 0ε ?E 0FεFε, ??? )()cov( E41 正交因子模型的性質 1．正交因子模型的協方差結構 假定隨機變量 Z的協方差矩陣為 Σ，則有 () () LFεFFLFεLFFZFZ ?????????? )()(])[()(),cov( EEEEΨLLεεεFLLFεLFFLεεεLFLFεLFLFεLFεLFεLFεLFZZZZΣ?????????????????????????????????)()()()()])()([()]))(([(]))([()(),cov (EEEEEEEE42 2．因子載荷 lij 的意義 由式（ ）可得 （ ） 由于假定 Zi 和 Fj 都是方差為 1的隨機變量，因此 lij 即為變量 Zi 與因子 Fj 的相關系數。 由于 ，因此似然函數可以更清楚地表示為 L(? , L, ? )，記 (? , L, ? )的估計量為 ，則有 （ ） ΨLLΣ ??? )???( Ψ,L,μ ),(max)?,?,?( ΨLμΨLμ LL ?47 2．主成分方法 用主成分法確定因子載荷，就是對隨機變量進行主成分分析，把前面幾個主成分作為原始公共因子。 *?R ? ??? ***2*2*1*1 ,? mm eeeL ??? ???????mjijii lh122 ?1?1??pi ,2,1 ??52 下面介紹幾種求特殊因子方差和公共因子方差初始估計的幾種常用方法： （ 1） 復合相關系數 （ squared multiple correlations，簡稱 SMC）方法 SMC是比較常用的一種方法，令 ，其中 rii是 的第 i個對角元素，此時公共因子方差的估計值為 它表示 Xi 與其他 p1 個解釋變量之間的復相關系數。只需要計算離差矩陣（相關矩陣、協方差矩陣）的特征值，特征值超過平均值的個數作為因子個數。只要原始數據的特征值超過模擬數據的對應值，相應的個數將作為保留因子數 57 2．公共因子個數的大樣本檢驗 采用極大似然估計模型時，假設公共因子和特殊因子均服從正態分布，而正態分布的假定，可以幫助我們構造模型充分性的檢驗。 2/))((???ln)6/)542(1( 22 mpmpmpnn?????????????? ?????? ?SΨLL)1812(21 ???? ppm60 例 紐約股票交易所股票收益率的因子分析（ 1） 曾有學者研究了紐約票股交易所的 5只股票（阿萊德化學（ allied）、杜邦 (dupont)、聯合碳化物 (union)、埃克森 (exxon)和德士古 (texaco)）從 1975年 1月到 1976年 12月期間周回報率之間的關系（數據見本章附錄）。 63 圖 因子設定對話框 64 1． Estimation 選擇鈕 Estimation標簽用于控制主要的估計設置（圖 ），其中主要包括估計方法、因子個數設定、初始貢獻率以及其他屬性 4個方面的設置。例如，對主成分估計方法，初始的公共方差是構建估計的基礎。 圖 因子分析的數據設定對話框 68 (1) 類型（ Type） 協方差設置的第一項是 Type下拉菜單，主要用于確定因子分析是基于協方差矩陣還是相關矩陣，或者采用用戶已經根據相關測量方法定義的矩陣（ Usermatrix） (2) 方法（ Method） 可以用 Method下拉菜單設定計算相關矩陣（或協方差矩陣）的方法：普通 Pearson協方差、非中心協方差、斯皮爾曼秩協方差（ Spearman rankorder covariances）和 Kendall’s tau（肯德爾）相關測量。 (7) 自由度修正 可以選擇使用極大似然估計量或者自由度修正規則計算協方差。 )( 2221 ????h 211 ?1? h???73 同時比較極大似然估計和主成分估計的結果可以發現：同樣在因子F1上有大的正的載荷，稱為市場因子；而因子 F2的結果與主成分分析載荷的符號正好相反，同樣也是區分了行業，因此也稱為行業因子。采用表 差和剩余方差，如對于第一個變量， = =。 78 設 L是通過某種方法估計得到的因子載荷矩陣，令 且 () () 式（ ）和式（ ）表明因子載荷矩陣是不唯一的，對一任意正交陣 T， 也是一個因子載荷矩陣。每一次旋轉以后，所得載荷矩陣各列平方的相對方差之和總會比上一次有所增加，而另一方面由于載荷矩陣每一個元素的絕對值均不大于 1，因此，其方差最終一定會收斂于某一個極限。也可以在 Starting values下拉菜單中選擇合適的方式，如 Random或 Userspecified。 例 影響我國物價波動多因素的因子分析（ 2） 本例對例 進行因子旋轉，希望得到更好的結果，本例進行了兩次旋轉以后，總方差變化不大，結束旋轉。下面介紹兩種常用的因子得分估計方法。 )2,1(,)]([)(22112211pirbrbrbZbZbZbZEFZElipjpijijpjpjjijiij???????????? ),2,1(1111111mjlrbrblrbrbpjppjppjjpjpj???????????????????1??? RLB ZRLBZF 1? ????93 3．因子得分的評價 由于因子的不確定性，使得大量學者關注模型估計結果評價的問題。較大的正值是比較滿意，因為它表明不同的得分集合將會產生相似的結果。 計算因子得分 圖 因子得分設定對話框 96 在圖 （ Display）： （ 1） Table summary，以表的形式顯示因子得分系數、不確定性指標、有效系數和單一性測量； （ 2） Spreadsheet，因子得分值表； （ 3） Line graph，得分線性圖； （ 4） Scatterplot，成對因子的得分散點圖； （ 5） Biplot graph，成對因子得分和載荷的雙標圖。因此，如果計算得分