概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-謝永欽版課后答案(編輯修改稿)

　

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 分布函數(shù)F（x），并畫(huà)出f（x）及F（x）.【解】當(dāng)x0時(shí)F（x）=0當(dāng)0≤x1時(shí) 當(dāng)1≤x2時(shí) 當(dāng)x≥2時(shí)故 （1） f(x)=ael|x|,λ0。(2) f(x)=試確定常數(shù)a,b，并求其分布函數(shù)F（x）.【解】（1） 由知故 即密度函數(shù)為 當(dāng)x≤0時(shí)當(dāng)x0時(shí) 故其分布函數(shù)(2) 由得 b=1即X的密度函數(shù)為當(dāng)x≤0時(shí)F（x）=0當(dāng)0x1時(shí) 當(dāng)1≤x2時(shí) 當(dāng)x≥2時(shí)F（x）=1故其分布函數(shù)為，（1）=，求。（2）=，求，.【解】（1） 即 即 故 （2） 由得即 查表得 由得即 查表得 X2 1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/30{X=k}=()k, k=1,2,…,令 求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y的分布律.【解】 ~N（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=｜X｜的概率密度.【解】（1） 當(dāng)y≤0時(shí)，當(dāng)y0時(shí)， 故 (2)當(dāng)y≤1時(shí)當(dāng)y1時(shí) 故 (3) 當(dāng)y≤0時(shí)當(dāng)y0時(shí) 故~U（0,1），試求：（1） Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)；（2） Z=2lnX的分布函數(shù)及密度函數(shù).【解】（1） 故 當(dāng)時(shí)當(dāng)1ye時(shí)當(dāng)y≥e時(shí)即分布函數(shù)故Y的密度函數(shù)為（2） 由P（0X1）=1知當(dāng)z≤0時(shí)，當(dāng)z0時(shí)， 即分布函數(shù)故Z的密度函數(shù)為f(x)=試求Y=sinX的密度函數(shù).【解】當(dāng)y≤0時(shí)，當(dāng)0y1時(shí)， 當(dāng)y≥1時(shí)，故Y的密度函數(shù)為：試填上(1),(2),(3)項(xiàng).【解】由知②填1。由右連續(xù)性知，故①為0。從而③亦為0。即，直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，求拋擲次數(shù)X的分布律.【解】設(shè)Ai={第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)}。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1與A2相互獨(dú)立。再設(shè)C={每次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)}。則 故拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為的幾何分布。?【解】令X為0出現(xiàn)的次數(shù)，設(shè)數(shù)字序列中要包含n個(gè)數(shù)字，則X~b(n,)即 得 n≥22即隨機(jī)數(shù)字序列至少要有22個(gè)數(shù)字。F（x）=則F（x）是（ ）隨機(jī)變量的分布函數(shù).（A） 連續(xù)型； （B）離散型；（C） 非連續(xù)亦非離散型.【解】因?yàn)镕（x）在（∞,+∞）上單調(diào)不減右連續(xù)，且,所以F（x）是一個(gè)分布函數(shù)。但是F（x）在x=0處不連續(xù)，也不是階梯狀曲線，故F（x）是非連續(xù)亦非離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。選（C）[a,b]上，隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，則區(qū)間 [a,b]等于（ ）(A) [0,π/2]。 (B) [0,π]。(C) [π/2,0]。 (D) [0,].【解】在上sinx≥0，(x)是密度函數(shù)。(x)不是密度函數(shù)。在上，故f(x)不是密度函數(shù)。在上，當(dāng)時(shí)，sinx0，f(x)也不是密度函數(shù)。故選（A）。~N（0，σ2），問(wèn)：當(dāng)σ取何值時(shí)，X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大？【解】因?yàn)? 利用微積分中求極值的方法，有 得,則 又 故為極大值點(diǎn)且惟一。故當(dāng)時(shí)X落入?yún)^(qū)間（1，3）的概率最大。（λ），每個(gè)顧客購(gòu)買(mǎi)某種物品的概率為p，并且各個(gè)顧客是否購(gòu)買(mǎi)該種物品相互獨(dú)立，求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買(mǎi)這種物品的人數(shù)Y的分布律.【解】設(shè)購(gòu)買(mǎi)某種物品的人數(shù)為Y，在進(jìn)入商店的人數(shù)X=m的條件下，Y~b(m,p)，即由全概率公式有 此題說(shuō)明：進(jìn)入商店的人數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布，購(gòu)買(mǎi)這種物品的人數(shù)仍服從泊松分布，但參數(shù)改變?yōu)棣藀.：Y=1e2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布. 【證】X的密度函數(shù)為由于P（X0）=1，故01e2X1，即P（0Y1）=1當(dāng)y≤0時(shí)，F(xiàn)Y（y）=0當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)Y（y）=1當(dāng)0y1時(shí)，即Y的密度函數(shù)為即Y~U（0，1）f(x)=若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范圍. (2000研考)【解】由P（X≥k）=知P（Xk）=若k0,P(Xk)=0若0≤k≤1,P(Xk)= 當(dāng)k=1時(shí)P（Xk）=若1≤k≤3時(shí)P（Xk）=若3k≤6，則P（Xk）=若k6,則P（Xk）=1故只有當(dāng)1≤k≤3時(shí)滿(mǎn)足P（X≥k）=.F(x)=求X的概率分布. （1991研考）【解】由離散型隨機(jī)變量X分布律與分布函數(shù)之間的關(guān)系，可知X的概率分布為X113P，求A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率.【解】令X為三次獨(dú)立試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，若設(shè)P（A）=p,則X~b(3,p)由P（X≥1）=知P（X=0）=（1p）3=故p=（1，6）上服從均勻分布，則方程y2+Xy+1=0有實(shí)根的概率是多少？ 【解】~N（2，σ2），且P{2X4}=，則P{X0}= . 【解】故 因此 ，；，(n≥2)臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立）.求（1） 全部能出廠的概率α；（2） 其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率β；（3）其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率θ. 【解】設(shè)A={需進(jìn)一步調(diào)試}，B={儀器能出廠}，則={能直接出廠}，AB={經(jīng)調(diào)試后能出廠}由題意知B=∪AB，且令X為新生產(chǎn)的n臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則X~6（n，）,故 ，考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均成績(jī)?yōu)?2分，%，試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率.【解】設(shè)X為考生的外語(yǔ)成績(jī)，則X~N（72，σ2）故 查表知 ,即σ=12從而X~N（72，122）故 、200V~240V和超過(guò)240V三種情形下，（假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N（220，252））.試求：（1） 該電子元件損壞的概率α。(2) 該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200~240V的概率β【解】設(shè)A1={電壓不超過(guò)200V}，A2={電壓在200~240V}，A3={電壓超過(guò)240V}，B={元件損壞}。由X~N（220，252）知 由全概率公式有由貝葉斯公式有（1，2）上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Y=e2X的概率密度f(wàn)Y(y).【解】因?yàn)镻（1X2）=1,故P（e2Ye4）=1當(dāng)y≤e2時(shí)FY（y）=P(Y≤y)=0. 當(dāng)e2ye4時(shí)， 當(dāng)y≥e4時(shí)，即 故 fX(x)=求隨機(jī)變量Y=eX的密度函數(shù)fY(y). (1995研考)【解】P（Y≥1）=1當(dāng)y≤1時(shí)，當(dāng)y1時(shí)， 即 故 fX(x)=,求Y=1的密度函數(shù)fY(y). 【解】 故 （t）服從參數(shù)為λt的泊松分布.（1） 求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔T的概率分布；（2） 求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作8小時(shí)的情形下，再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率Q.（1993研考）【解】（1） 當(dāng)t0時(shí)，當(dāng)t≥0時(shí)，事件{Tt}與{N(t)=0}等價(jià)，有即 即間隔時(shí)間T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。（2） ，P{X=1}=1/8，P{X=1}=1/{1X1}出現(xiàn)的條件下，X在{1，1}內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長(zhǎng)度成正比，試求X的分布函數(shù)F（x）=P{X≤x}. (1997研考)【解】顯然當(dāng)x1時(shí)F（x）=0；而x≥1時(shí)F（x）=1由題知當(dāng)1x1時(shí)，此時(shí) 當(dāng)x=1時(shí)，故X的分布函數(shù)54. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分N（μ1,σ12),Y服從正態(tài)分布N(μ2,σ22)，且P{|Xμ1|1}P{|Yμ2|1}，試比較σ1與σ2的大小. (2006研考)解： 依題意 ，則，.因?yàn)?，即，所以? ，即.習(xí)題三，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY0123100300、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2紅,2白)=0（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長(zhǎng)方形域內(nèi)的概率.【解】如圖 題3圖說(shuō)明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。（X，Y）的分布密度f(wàn)（x，y）=求：（1） 常數(shù)A；（2） 隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3） P{0≤X1，0≤Y2}.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定義，有 (3) （X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 確定常數(shù)k；（2） 求P{X＜1，Y＜3}；（3） 求P{X}；（4） 求P{X+Y≤4}.【解】（1） 由性質(zhì)有故 （2） (3) (4) 題5圖，X在（0，）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY（y）=求：（1） X與Y的聯(lián)合分布密度；（2） P{Y≤X}.題6圖【解】（1） 因X在（0，）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為而所以 (2)