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復(fù)變函數(shù)第二章解析函數(shù)-資料下載頁(yè)

2026-07-27 19:47本頁(yè)面

　　

【正文】 z aL nz a k i k?? ? ?? ? ? ? ?例如若，有的主值( 0 ) l n l nl n ( 2 1 ) 0 , 1 , 2 ,z a a L nz z a iL nz a k i k??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?若，有的主值特別地 ? (2) 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì) ., 這與實(shí)函數(shù)不同多值性了對(duì)數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù)的周期性導(dǎo)致 2)21212121 ,)()1 L n zL n zzzLnL n zL n zzzLn ????.ln:)2 處處連續(xù)在除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外連續(xù)性 z,a r glnln: zizz ??主值。ln 續(xù)除原點(diǎn)外在其它點(diǎn)均連其中 z.a r g 連續(xù)在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上都不而 z.ln, 在復(fù)平面內(nèi)處處連續(xù)除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸外 z?0)39。( ??? ??? eeez?zeddzzdzd 111)39。( l n ????? ???zz1)39。(l n ?即.ln 析的除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸外是解z?? ?.ln:)3 平面內(nèi)解析在除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的解析性 zzL n zL n z1)39。( ?且負(fù)實(shí)軸外均是解析的，的每個(gè)分支除了原點(diǎn)和.,2 zie z 求設(shè) ?例 4 ( 2 ) l n 2 ( 2 ) l n 2 2 0 , 1 ,2z L n i i iA rg ii k i k??? ? ?? ? ? ? ?三 . 乘冪與冪函數(shù) ba bz? 乘冪 ab ,0, ?aba 且為復(fù)數(shù)設(shè)定義 .b L n ab ea ?定義乘冪.,0, 為實(shí)數(shù)實(shí)變數(shù)情形 ba ?? — 多值 — 一般為多值 ., 它是單值函數(shù)為整數(shù)時(shí)b?為整數(shù)①當(dāng) b)0,( ?? qqpqpb 且為互質(zhì)的整數(shù)②當(dāng)具有③一般而論 ba, .無(wú)窮多支 (2)當(dāng) b=1/n(n正整數(shù) )時(shí) ，乘冪 ab與 a 的 n次根意義一致。 ? (1)當(dāng) b=n(正整數(shù) )時(shí) ，乘冪 ab與 a 的 n次冪意義一致。 ikikLn eee 22)21( l n21221 ?? ??? ?)2()2( l n 22 ?? ?? ???? ??? kikiiii L n ii eeei)2,1,0( ?k)s i n ()c o s ( 3434)2()2( l n2322323232?????? ??kkkiikiiL n iieeei??????????),2,1,0( ????kc o s( 2 2 ) sin ( 2 2 )k i kpp=+)2,1,0( ????k解 .1 322 的值和、求 ii i例 5 ? 冪函數(shù) zb 稱為冪函數(shù)。得為復(fù)變數(shù)中，取在乘冪 , bb zwza ?定義 ① 當(dāng) b = n (正整數(shù) ) w=z n 在整個(gè)復(fù)平面上是單值解析函數(shù) 為正整數(shù)）② nnb (1?nkznnnn izikzizL n z eeeez?? 2ar g1111 ln)2ar g( l n ???? ??)2ar gs i n2ar g(c os n kzin kzzn ?? ????)12,1,0( ?? nk ?n z?.解析除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處的解析性由于 ?Lnz的反函數(shù)nwz ?)()39。( ,1 單值分支且解析除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處????bbbbzzzwbzw ?,③一般而論除去 b為正整數(shù)外，為多值函數(shù)，當(dāng) b為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，無(wú)窮多值。 )2(2c o s2s i n:,s i nc o ss i nc o s,0:Ryeeyieeyyiyeyiyexiyiyiyiyiyiy??????????????從而得到時(shí)當(dāng)由指數(shù)函數(shù)的定義四 . 三角函數(shù) 推廣到復(fù)變數(shù)情形 s in , c o s ( 3 )22i z i z i z i ze e e ezz i+==定義周期函數(shù)是及 ?2c o ss i n)1 ?Tzz]c os222)2[ c os (22)2()2(zeeeeeeeeziziziiziizzizi?????????????? ?????zzzz s i n)39。(c osc os)39。(s i n,)2???且在復(fù)平面上處處解析zeeeeiz iziziziz c o s)(21)39。(21)39。( s i n ????? ???正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì) .c o s,s i n)3 是偶函數(shù)是奇函數(shù) zzzzzi eezizizc o s)c o s (。s i n2)s i n ( ????????同理c os si nize z i z=+4）歐拉（ Euler）公式對(duì)任意復(fù)數(shù)成立三角公式的加法定理可推知一些及指數(shù)函數(shù)由正弦和余弦函數(shù)定義)5?????????????1c o ss i ns i nc o sc o ss i n)s i n (s i ns i nc o sc o s)c o s (22212121212121zzzzzzzzzzzzzziyxiyxiyxiyxiyxiyxs i nc osc oss i n)s i n (s i ns i nc osc os)c os (??????由正弦和余弦函數(shù)的定義得 )4(2s i n2c os???????????????i s h yieeiyc h yeeiyyyyy??????????xs h yixc h yiyxxs h yixc h yiyxc oss i n)s i n (s i nc os)c os (zzzzzzzzzzs i n1c s cc os1s e cs i nc osc otc oss i ntan ????其它三角函數(shù)的定義 )(0s i n,s i n)6 Zkkzzz ??? ?的根為即方程的零點(diǎn)Zkkzz ??? ??2c os 的零點(diǎn)為7 ) ( 4 )sin22 c os2y y y yyye e e ey iyieeiy+= ? ?由式知.1s i n,1c o s 不再成立在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) ??? zz思考題 .1c o s,1s i n:,c o s,s i n?? zzzz有類似的結(jié)果是否與實(shí)變函數(shù)作為復(fù)變函數(shù))1( t h zc t h zc h zs h zt h z ??22zzzz eec h zees h z?? ????定義 — 稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù) ?雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì) 為周期的函數(shù)都是以、 ic h zs h z ?2)1奇函數(shù)偶函數(shù) ???? s h zc h z ,)2雙曲函數(shù) .,一定是多值函數(shù)反函數(shù)且是周期函數(shù)，故它的定義的函數(shù)雙曲函數(shù)均是由復(fù)指數(shù)三角函數(shù)yi s h xyc h xiyxchyc h i yyis h i ys i nc os)(c oss i n)4?????由定義析在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)處處解和 c h zs h zc h zs h zs h zc h z ?? )39。()39。()3

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