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2026-06-10 16:48本頁面

　　

【正文】是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點．O是△ABC所在平面上的動點，連接OB、OC，點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E．（1）如圖，當點O在△ABC的內部時，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；（2）若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應滿足怎樣的數量關系？（直接寫出答案，不需要說明理由．）考點：三角形中位線定理；平行四邊形的判定；菱形的判定．分析：（1）根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC且DE=BC，GF∥BC且GF=BC，從而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形解答．解答：（1）證明：∵D、E分別是AB、AC邊的中點，∴DE∥BC，且DE=BC，同理，GF∥BC，且GF=BC，∴DE∥GF且DE=GF，∴四邊形DEFG是平行四邊形；（2）解：當OA=BC時，平行四邊形DEFG是菱形．點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，菱形的判定以及平行四邊形與菱形的關系，熟記的定理和性質是解題的關鍵．　27．（10分）（2014?白銀）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90176。，以AB為直徑作半圓⊙O交AC與點D，點E為BC的中點，連接DE．（1）求證：DE是半圓⊙O的切線．（2）若∠BAC=30176。，DE=2，求AD的長．考點：切線的判定．專題：計算題．分析：（1）連接OD，OE，由AB為圓的直徑得到三角形BCD為直角三角形，再由E為斜邊BC的中點，得到DE=BE=DC，再由OB=OD，OE為公共邊，利用SSS得到三角形OBE與三角形ODE全等，由全等三角形的對應角相等得到DE與OD垂直，即可得證；（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30176。，得到BC為AC的一半，根據BC=2DE求出BC的長，確定出AC的長，再由∠C=60176。，DE=EC得到三角形EDC為等邊三角形，可得出DC的長，由AC﹣CD即可求出AD的長．解答：（1）證明：連接OD，OE，∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=∠BDC=90176。，在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，∴DE=BE，在△OBE和△ODE中，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE=∠ABC=90176。，則DE為圓O的切線；（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30176。，∴BC=AC，∵BC=2DE=4，∴AC=8，又∵∠C=60176。，DE=DC，∴△DEC為等邊三角形，即DC=DE=2，則AD=AC﹣DC=6．點評：此題考查了切線的判定，以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．　28．（12分）（2014?白銀）如圖，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線是由拋物線y=x2﹣3向右平移一個單位后得到的，它與y軸負半軸交于點A，點B在該拋物線上，且橫坐標為3．（1）求點M、A、B坐標；（2）聯結AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）點P是頂點為M的拋物線上一點，且位于對稱軸的右側，設PO與x正半軸的夾角為α，當α=∠ABM時，求P點坐標．考點：二次函數綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）根據向右平移橫坐標加寫出平移后的拋物線解析式，然后寫出頂點M的坐標，令x=0求出A點的坐標，把x=3代入函數解析式求出點B的坐標；（2）過點B作BE⊥AO于E，過點M作MF⊥AO于M，然后求出∠EAB=∠EBA=45176。，同理求出∠FAM=∠FMA=45176。，然后求出△ABE和△AMF相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出，再求出∠BAM=90176。，然后根據銳角的正切等于對邊比鄰邊列式即可得解；（3）過點P作PH⊥x軸于H，分點P在x軸的上方和下方兩種情況利用α的正切值列出方程求解即可．解答：解：（1）拋物線y=x2﹣3向右平移一個單位后得到的函數解析式為y=（x﹣1）2﹣3，頂點M（1，﹣3），令x=0，則y=（0﹣1）2﹣3=﹣2，點A（0，﹣2），x=3時，y=（3﹣1）2﹣3=4﹣3=1，點B（3，1）；（2）過點B作BE⊥AO于E，過點M作MF⊥AO于M，∵EB=EA=3，∴∠EAB=∠EBA=45176。，同理可求∠FAM=∠FMA=45176。，∴△ABE∽△AMF，∴==，又∵∠BAM=180176。﹣45176。2=90176。，∴tan∠ABM==；（3）過點P作PH⊥x軸于H，∵y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2，∴設點P（x，x2﹣2x﹣2），①點P在x軸的上方時，=，整理得，3x2﹣7x﹣6=0，解得x1=﹣（舍去），x2=3，∴點P的坐標為（3，1）；②點P在x軸下方時，=，整理得，3x2﹣5x﹣6=0，解得x1=（舍去），x2=，x=時，x2﹣2x﹣2=﹣=﹣，∴點P的坐標為（，﹣），綜上所述，點P的坐標為（3，1）或（，﹣）．點評：本題是二次函數的綜合題型，主要利用了二次函數圖象與幾何變換，拋物線與坐標軸的交點的求法，相似三角形的判定與性質，銳角三角形函數，難點在于作輔助線并分情況討論．　 24 /

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