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20xx北師大版選修1-1高中數學412函數的極值練習題-資料下載頁

2025-11-19 19:11本頁面

【導讀】1．函數f在x＝x0處導數存在，若p：f′＝0；q：x＝。p，而由f′＝0，不一定。得到x0是極值點，故p?[解析]因為f′＝3ax2＋b，①x＝－3是函數y＝f的極值點；③曲線y＝f在x＝0處的切線斜率小于零；6．設a∈R，若函數y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的極。∴ex0＋a＝0，且x0>0，[解析]f′＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，上遞減，在上遞增，[解析]f＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，當c＝2時，f′＝3x2－8x＋4＝(x－2)，故f在x＝2處取得極小值，不合題意舍去；10．設y＝f為三次函數，且圖像關于原點對稱，當x＝12時，f的極小值為－1，f恒成立，得ax3＋bx2＋cx＋d＝ax3－bx2＋cx－d，故所求函數的解析式為f＝4x3－3x.

　　

【正文】 (x＋ 1)(x＋ 4)ex，令 g′( x)＝ 0，解得 x＝ 0， x＝－ 1或 x＝－ x－ 4時， g′( x)0，故 g(x)為減函數；當－ 4x－ 1時， g′( x)0，故 g(x)為增函數；當－ 1x0時， g′( x)0，故 g(x)為減函數；當 x0時， g′( x)0，故 g(x)為增函數；綜上知 g(x)在 (－ ∞ ，－ 4)和 (－1,0)內為減函數， (－ 4，－ 1)和 (0，＋ ∞) 內為增函數． 8．設函數 f(x)＝ (2－ a)lnx＋ 1x＋ 2ax. (1)當 a＝ 0時，求 f(x)的極值； (2)當 a≠0 時，求 f(x)的單調區(qū)間． [答案 ] (1)f(x)極小值＝ f(12)＝ 2－ 2ln2，沒有極大值 (2)當 a0 時，函數的單調遞減區(qū)間為 (0， 12]，單調遞增區(qū)間為 [12，＋ ∞) ；當 a－ 2時，函數的單調遞減區(qū)間為 (0，－ 1a]，[12，＋ ∞) ，單調遞增區(qū)間為 [－ 1a， 12]；當 a＝－ 2時，函數的單調遞減區(qū)間為 (0，＋ ∞) ；當－ 2a0時，函數的單調遞減區(qū)間為 (0， 12]， [－ 1a，＋ ∞) ，單調遞增區(qū)間為 [12，－ 1a] [解析 ] (1)函數 f(x)的定義域為 (0，＋ ∞) ，當 a＝ 0時， f(x)＝ 2lnx＋ 1x， ∴ f′( x)＝ 2x－ 1x2＝ 2x－ 1x2 . 由 f′( x)＝ 0得 x＝ (x)， f′( x)隨 x的變化如下表： x (0， 12) 12 (12，＋ ∞) f′( x) － 0 ＋ f(x) 極小值由上表可知， f(x)極小值＝ f(12)＝ 2－ 2ln2，沒有極大值． (2)由題意，知 f′( x)＝ 2ax2＋－ a x－ 1x2 .令 f′( x)＝ 0得 x1＝－1a， x2＝12. 若 a0，由 f′( x)≤0 得 x∈ (0， 12]；由 f′( x)≥0 得 x∈ [12，＋ ∞) ．若 a0，當 a－ 2時，－ 1a12，由 f′( x)≤0 得 x∈ (0，－ 1a]或 x∈ [12，＋ ∞) ；由 f′( x)≥0得 x∈ [－ 1a， 12]．當 a＝－ 2時， f′( x)≤0. 當－ 2a0時，－ 1a12，由 f′( x)≤0 得 x∈ (0， 12]或 x∈ [－1a，＋ ∞) ；由 f′( x)≥0 得 x∈ [12，－1a]．綜上，當 a0時，函數的單調遞減區(qū)間為 (0， 12]，單調遞增區(qū)間為 [12，＋ ∞)；當 a－ 2時，函數的單調遞減區(qū)間為 (0，－ 1a]， [12，＋ ∞)，單調遞增區(qū)間為 [－ 1a， 12]；當 a＝－ 2時，函數的單調遞減區(qū)間為 (0，＋ ∞)；當－ 2a0時，函數的單調遞減區(qū)間為 (0， 12]， [－ 1a，＋∞)，單調遞增區(qū)間為 [12，－ 1a]．

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