湖北省荊州市20xx年中考數學真題試題含解析(參考版)

　　

【正文】 ， ∴ = = ． 【點評】 本題主要考查的是弧長的計算、等腰直角三角形的判定，銳角三角函數的性質，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵． 24．（ 分）為響應荊州市 “ 創建全國文明城市 ” 號召，某單位不斷美化環境，擬在一塊矩形空地上修建綠色植物園，其中一邊靠墻，可利 用的墻長不超過 18m，另外三邊由 36m長的柵欄圍成．設矩形 ABCD空地中，垂直于墻的邊 AB=xm，面積為 ym2（如圖）． （ 1）求 y與 x之間的函數關系式，并寫出自變量 x的取值范圍； （ 2）若矩形空地的面積為 160m2，求 x的值； （ 3）若該單位用 8600元購買了甲、乙、丙三種綠色植物共 400棵（每種植物的單價和每棵栽種的合理用地面積如下表）．問丙種植物最多可以購買多少棵？此時，這批植物可以全部栽種到這塊空地上嗎？請說明理由． 甲 乙 丙 單價（元 /棵） 14 16 28 合理用地（ m2/棵） 1 【分析】 （ 1）根據矩形的面積公式計算即可； （ 2）構建方程即可解決問題，注意檢驗是否符合題意； （ 3）利用二次函數的性質求出 y 的最大值，設購買了乙種綠色植物 a 棵，購買了丙種綠色植物 b棵，由題意： 14（ 400﹣ a﹣ b） +16a+28b=8600，可得 a+7b=1500，推出 b的最大值為 24 214，此時 a=2，再求出實際植物面積即可判斷； 【解答】 解：（ 1） y=x（ 36﹣ 2x） =﹣ 2x2+36x． （ 2）由題意：﹣ 2x2+36x=160， 解得 x=10或 8． ∵ x=8時， 36﹣ 16=20＜ 18， 不符合題意， ∴ x的值為 10． （ 3） ∵ y=﹣ 2x2+36x=﹣ 2（ x﹣ 9） 2+162， ∴ x=9時， y有最大值 162， 設購買了乙種綠色植物 a棵，購買了丙種綠色植物 b棵， 由題意： 14（ 400﹣ a﹣ b） +16a+28b=8600， ∴ a+7b=1500， ∴ b的最大值為 214，此時 a=2， 需要種植的面積 = （ 400﹣ 214﹣ 2） +1 2+ 214=＞ 162， ∴ 這批植物不可以全部栽種到這塊空地上． 【點評】 本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬 于中考常考題型． 25．（ ）閱讀理解：在平面直角坐標系中，若兩點 P、 Q的坐標分別是 P（ x1， y1）、 Q（ x2， y2），則 P、 Q 這兩點間的距離為 |PQ|= ．如 P（ 1， 2）， Q（ 3， 4），則 |PQ|= =2 ． 對于某種幾何圖形給出如下定義：符合一定條件的動點形成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．如平面內到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線． 解決問題：如圖，已知在平面直角坐標系 xOy 中，直線 y=kx+ 交 y 軸于點 A，點 A關于 x軸的對稱點為點 B，過點 B作直線 l平行于 x軸． （ 1）到點 A的距離等于線段 AB長度的點的軌跡是 x2+（ y﹣ ） 2=1 ； （ 2）若動點 C（ x， y）滿足到直線 l的距離等于線段 CA的長度，求動點 C軌跡的函數表達 25 式； 問題拓展：（ 3）若（ 2）中的動點 C 的軌跡與直線 y=kx+ 交于 E、 F兩點，分別過 E、 F 作直線 l的垂線，垂足分別是 M、 N，求證： ① EF是 △ AMN外接圓的切線； ② + 為定值． 【分析】 （ 1）利用兩點間的距離公式即可得出結論； （ 2）利用兩點間的距離公式即可得出結論； （ 3） ① 先確定出 m+n=2k， mn=﹣ 1，再確定出 M（ m，﹣ ）， N（ n， ﹣ ），進而判斷出 △ AMN是直角三角形，再求出直線 AQ的解析式為 y=﹣ x+ ，即可得出結論； ② 先確定出 a=mk+ ， b=nk+ ，再求出 AE=ME=a+ =mk+1， AF=NF=b+ =nk+1，即可得出結論． 【解答】 解：（ 1）設到點 A的距離等于線段 AB 長度的點 D坐標為（ x， y）， ∴ AD2=x2+（ y﹣ ） 2， ∵ 直線 y=kx+ 交 y軸于點 A， ∴ A（ 0， ）， ∵ 點 A關于 x軸的對稱點為點 B， ∴ B（ 0，﹣ ）， ∴ AB=1， ∵ 點 D到點 A的距離等于線段 AB長度， ∴ x2+（ y﹣ ） 2=1， 故答案 為： x2+（ y﹣ ） 2=1； （ 2） ∵ 過點 B作直線 l平行于 x軸， 26 ∴ 直線 l的解析式為 y=﹣ ， ∵ C（ x， y）， A（ 0， ）， ∴ AC2=x2+（ y﹣ ） 2，點 C到直線 l的距離為：（ y+ ）， ∵ 動點 C（ x， y）滿足到直線 l的距離等于線段 CA的長度， ∴ x2+（ y﹣ ） 2=（ y+ ） 2， ∴ 動點 C軌跡的函數表達式 y= x2， （ 3） ① 如圖， 設點 E（ m， a）點 F（ n， b）， ∵ 動點 C的軌跡與直線 y=kx+ 交于 E、 F兩點， ∴ ， ∴ x2﹣ 2kx﹣ 1=0， ∴ m+n=2k， mn=﹣ 1， ∵ 過 E、 F作直線 l的垂線，垂足分別是 M、 N， ∴ M（ m，﹣ ）， N（ n，﹣ ）， ∵ A（ 0， ）， ∴ AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（ m+n） 2﹣ 2mn+2=4k2+4， MN2=（ m﹣ n） 2=（ m+n） 2﹣ 4mn=4k2+4， ∴ AM2+AN2=MN2， ∴△ AMN是直角三角形， MN為斜邊， 取 MN的中點 Q， ∴ 點 Q是 △ AMN的外接圓的圓心， ∴ Q（ k，﹣ ）， ∵ A（ 0， ）， 27 ∴ 直線 AQ的解析式為 y=﹣ x+ ， ∵ 直線 EF的解析式為 y=kx+ ， ∴ AQ⊥ EF， ∴ EF是 △ AMN外接圓的切線； ② 證明： ∵ 點 E（ m， a）點 F（ n， b）在直線 y=kx+ 上， ∴ a=mk+ ， b=nk+ ， ∵ ME， NF， EF是 △ AMN的外接圓的切線， ∴ AE=ME=a+ =mk+1， AF=NF=b+ =nk+1， ∴ + = + = = = =2， 即： + 為定值，定值為 2． 【點評】 此題是圓的綜合題，主要考查了待定系數法，兩點間的距離公式，直角三角形的判定和性質，根與系數的關系，圓的切線的判定和性質，利用根與系數的確定出 m+n=2k， mn=﹣ 1是解本題是關鍵． 。 ，即 α +β=45176。 ， ∴∠ AMH=90176。 ， ∴△ APG為等邊三角形． 【點評】 此題考查了翻折變換（折疊問題），全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定，以及矩形的性質，熟練掌握折疊的性質是解本題的關鍵． 22．（ ）探究函數 y=x+ （ x＞ 0）與 y=x+ （ x＞ 0， a＞ 0）的相關性質． （ 1）小聰同學對函數 y=x+ （ x＞ 0）進行了如下列表、描點，請你幫他完成連線的步驟；觀察圖象可得它的最小值為 2 ，它的另一條性質為 當 x＞ 1時， y隨 x的增大而增大 ； x ? 1 2 3 ? y ? 2 ? （ 2）請用配方法求函數 y=x+ （ x＞ 0）的最小值； （ 3）猜想函數 y=x+ （ x＞ 0， a＞ 0）的最小值為 2 ． 【分析】 （ 1）根據函數圖象可以得到函數