畢業論文-小波閾值去噪及matlab仿真-wenkub

　

【正文】 那樣的頻率點的概念 ，取而代之的是本質意義上的頻 帶概念 ，從時間域來看，小波變換所反映的也不再是某個準確的時間點處的變化， 而是體現了原信號在某個時間段內的變化情況。 連續小波變換 設 )(t? 是平方可積函數 ，即 )(t? )(2 RL? ，若 )(t? 的傅立葉變換 )(w? 滿足條件： ???? ???? d2)( (211) 則稱 )(t? 為一個基本小波或小波母函數，稱式 (211)為小波函數的可容許性條件。可以看出當 a 減小時，時域寬度減小，而頻域寬度增大，而且 b 的窗口中心向 ? 增大方向移動。當 )(?? 滿足下面的允許條件時 ??????? ? dC R 2)(? (2 7) 則 )(t? 就是一個基本函數，令 )(1)(, a btatba ?? ?? 式中 ， a， b 均為常數，且 a0。加窗傅里葉變換發展了傅里葉變換 ，能夠滿足信號處理的某 些特殊需要。因為信號的頻率反比于其時間周期長 ， 因此對高頻譜信息而言 ，時間區域應相對窄，而對低頻譜信息而言，時間區域應 相對寬 ，即應給一個可調時頻窗， Fourier 分析不能做到這一點 ，從而不適于做局 部分析。傅 立 葉變換反映不出信號頻率隨時間變化的非平穩信號 ，即時變信號，它只能給出一個總的平均效果。 FFT(快速 Fourier 變換 )的提出更使 Fourier 方法從理論走向實踐 ， 成為大們進行分析的強有力工具。隨著小波理論的不斷完善，它的應用領域也越來越廣泛。 一般說來，傳統上使用 Fourier 分析的地方，現在都可以用小波分析并能夠取得更好的結果，小波分析能對幾乎所有的常見函數空間給出簡單的刻畫，也能用小波展開系數描述函數的局部性質。小波分析，是泛函分析、傅里葉分析及數值分析等多個學科相互交叉、相互融合的結晶。 最后為全文的工作的總結。介紹小波變換消噪的 優勢、原理以及基函數的選取問題。閾值法由于具有能得到原始信號的近似最優估計、計算速度快以及具有廣泛適應性等優點，是小波去噪方法中應用最廣泛的一種，因此是本論文中主要研究的去噪方法。 Jansen 提出了對于重噪聲的最小風險閾值方法。 Oktem等人提出了一種 Filmgrain 型噪聲的去除與含噪圖像壓縮的變換域方法。 Nowak 等人 1999 年提出了針對光子圖像系統的小波變換域濾波算法，在該系統中的噪聲屬于Poisson 噪聲 Nowak 提出了 PRESS最優非線性小波濾波方法 ，根據圖像局部區域的大小，來調整 PRESS最優濾波器 ，使其與 Poisson 噪聲的方差水平相匹配。 Donoho 和 Johnstone 等人于 1994 年提出了信號去噪的軟閾值方法和硬閾值方法(WaveShrink)， 還給出了 t=σ2ln(N) 的閾值 ，并從漸進意義上證明了 WaveShrink 的最優性 ；同年 Coifman 和 Donoho 提出了平移不變小 波去噪。在該算法的實現過程中 ，噪聲能量的估計非常關鍵。 Mallat 提出的交替投影方法較好地解決了這個問題。 Mallat 是最早從事小波在信號處理中的應用的研究者之一 ，他提出的利用小波 變換模極大值原理進行信號去噪的方法是小波去噪中最經典的方法。 在這一點上 ，雖然這種方法同小波去噪很相似，但是小波變換之所以能夠很好地 保留邊緣 ，是因為小波變換的多分辨率特性，小波變化后，由于對應圖像特征 (邊緣等 )處的系數幅值變大 ，而且在相鄰尺度層間具有很強的相關性，所以便于特 征提取和保護。由于小波變換可以靈活選擇基 ， 也可根據信號特點和去噪要 求選擇多帶小波、小波包、平移不變小波等 ， 對不同相應場合 ， 可以選擇不同的 小波母函數。 小波去噪的成功主要在于小波變換有如下特點 : (1)低熵性。由此小波去噪方法也就是尋找從實際信號空間到小波函數空間的最佳映射，以便得到原信號的最佳恢復。尋求一種既能有效地減小噪聲，又能很好地保留 信號 原始信息的方法，是人們一直追求的目標 。噪聲是影響圖像質量的重要因素；噪聲的存在導致圖像的某些特征細節不能被辨識 , 圖像信噪比下降。去除圖像的噪聲是圖像處理過程中的一個重要環節，其結果直接影響到圖像質量和特征提取的精確性。 利用小波方法去噪，是小波分析應用于實際的重要方面。小波去噪的關鍵是如何選擇閾值和如何利用閾值來處理小波系數，通過對小波閾值化去噪的原理介紹 ,運用 MATLAB 中的小波工具箱，對一個含噪信號進行閾值去噪，實例驗證理論的實際效果，證實了理論的可靠性。現實中由于獲取圖像的環境、設備及傳輸過程存在不確定因素，使得圖像受到噪聲污染是不可避免的。在圖像處理中如何有效地去除噪聲 , 提取圖像信息變得尤為重要。利用振動信號或狀態量對設備進行診斷是設備故障診斷中最有效、最常用的方法 ,過去常用傳統的基于快速傅里葉變換 ( FFT)的頻譜分析方法進行振動信號處理 ,但是傅里葉分析存在著嚴重的不足 ,它只適于分析時不變系統的平穩信號 ,而不適于分析非平穩信號 ,且傅里葉變換對在檢測信號中包含的趨勢、突變事件的開始和結束等特征分析時也顯得無能為力。從信號分析的角度看，小波去噪是信號濾波問題，盡管在很大程度上小波去噪可以看成是低通濾波，但是由于去噪后還能成功地保留圖像特征，在這一點上又優于傳統的低通濾波器，所以小波去噪實際上是 特征提取和低通濾波功能的綜合。小波系數的稀疏分布 ， 使圖像變換后的熵降低 ； (2)多分辨率特性。 小波分析是時頻分析方法 ， 具有良 好的時頻局部性 ， 并且有快速算法 (Mallat 算法 )加以實現。相對早期的方法而言 ，小波噪聲對邊緣等特征的提取和保護是有 很強的數學理論背景的 ，因而便于系統的理論分析。其基本原理是在小波變換域內去除由噪聲對應的模極大值點 ，僅保留由真實信號所對應的模極大值 點。然而， 交替投影方法計算量很大，需要 通過迭代實現 ，有時還不穩定。潘泉等人推導出噪聲 能量閾值的理論計算公式 ，并給出了一種估計信號噪聲方差的有效方法， 使得空域相 關濾波算法具有自適應性。 Gao 和 Bruce 把軟閾值和硬閾值方法進行推廣 ，提出了 semisoft 閾值方法 ，研究了不同收 縮 (shrinkage)函數的特性 ，推導出最小最大閾值，并給出閾值估計的偏差、方差等 的計算公式。事實上 PRESS最優非線性小波濾波方法也是介于軟閾值和硬閾值之間的一種方法。趙瑞珍等人提出了一種 Poisson 噪聲去除的小波變換局部域復合濾波算法。 總之 ， 目前小波去噪方法的研究非常活躍 ，不斷有新的方法出現，尤 其是有關 Gaussian 噪聲的去除已取得了不少好的結果。 本 文內容安排如下： 首先 ，介紹小波變換基本理論。 再次 ，為一維信號和二維圖像小波變換去噪算法的研究。 第 2 章 小波變換的基本理論 小波分析（ Wavelet Analysis）是數字信號處理中非常有力的一種工具。小波分析屬時頻分析的一種。小波分析在時域和頻域同時具有良好的局部化特性，克服 了傳統 Fourier 分析的不足，由于小波分析對高頻采取逐漸精細的時域步長，從而可以聚焦到被分析信號的任意細節。小波分析與 Fourier 分析的區別在于， Fourier 分析只考慮時域和頻域之間的一對一的映 射，它以單個變量（時間或頻率）的函數表示信號，時頻分析在時頻平面上表示非平穩信號，小波分析則聯合時間，尺度函數分析非平穩信號，小波分析描述非平穩信號雖然也在二維平面上，但不是在時頻平面上，而是在時間— 尺度平面上，在小波分析中，人們可以在不同尺度上來觀察信號，這種對信號分析的多尺度觀點是小波分析的基本特征。傅 立 葉變換 （ Fourier Transform）定義為：給 定信號 )(tf ， 如果它滿足 ??????? dttf 2)( (21) 那么可對其進行傅立葉變換 dtetfwF jw t??????? )()( (22) 其逆變換為 dwewFtf jw t)(21)( ?? ???? ? (23) )(tf 與 )(wF 是一一對應的變換對。受海森堡測不準 原理的制約， 時間分辨率和頻率分辨率不可能同時達到最好 ，也無法根據信號的特點來自動調 節時域及頻域的分辨率。 加窗傅 立 葉 變換 由于傅 立 葉變換不能將信號的時域特征和頻域特征有機結合起來， DennisGabor 于1946 年提出了短時傅 立 葉變換 (Short Fourier Transform)，也稱為加窗傅 立 葉變換(Windowed Fourier Transform)。但是當窗口函數選定以后 ，它不能隨著所要分析的的信號成份在高 頻信息和低頻信息而相應變化 ，對非平穩信號的分析能力是很有限的，不適合分 析頻帶較寬的頻譜。 a 稱為尺度因子， b 為位置參數，若 a， b 不斷地變化，可得到一組函數 )(, tba? 。這說明連續小波的局部是變化的，在高頻時分辨率高，在低頻時分辨率低。 將小波母函數 )(t? 進行伸縮和平移得小波基函數： Rbaa btatba ???? ? ,0),()( 21, ?? (212) 其中 a 為伸縮因子（又稱尺度因子）， b 為平移因子。 CWT 系數具有很大冗余量 ，從節約計算量來說，這是它的缺點之一，但是從 另一方面來講 ，我們可以利用 CWT 的冗余性實現去噪和數據恢復的目的 ，其冗 余性又成為CWT 不可替代的優勢。此性質表明，當信號在時域作某一倍數伸縮時，其小波變換在 a,b兩軸上也作同一倍數伸縮，形狀不變。 離散小波變換 通常用冗余度這一概念來衡量函數族是否構成正交性 ，若信號損失部分后仍 能傳遞同樣的信息量 ，則稱此信號有冗余，冗余的大小程度稱為冗余度。 由于連續小波變換存在冗余，因而有必要搞清楚，為了重構信號，需針對變換域的變量 a ， b進 行 何 種 離 散 化 ， 以 消 除 變 換 中 的 冗 余 ， 在 實 際 中 ， 常 取Zkjakb jj ??? ,。 假定 ? 是一個 R 函數，那么存在 ??RL2 的一個 唯一的 Riesz 基 ? ? Zkjkj ?,? ，它在意義 Zmlkjmkljmlkj ?? , , ???? 上與 ? ?kj,? 對偶。 LL 1 HL 1 LH 1 HH 1 圖 21 一次離散小波變換后的頻率分布 LL 3 HL 3 HL 2 HL 1 LH 3 HH 3 LH 2 HH 2 LH 1 HH 1 圖 22 層小波變換后的頻率分布 多分辨分析 Mallat 使用多分辨分析的概念統一了各種具體小波基的 構造方法，并由此提出了現今廣泛使用的 Mallat 快速小波分解和重構算法，它在小波分析中的地位與快速傅里葉變換在傅里葉分析中的地位相當。 本章是小波分析的理論基礎。因此要減少圖像中的噪聲，必須針對具體情況采用不同的方法，以達到滿意的處理效果。 第二常用的分解就是乘性的，即 )()()( xnxfxg ?? (32) 散斑就是通常被模擬為乘性噪聲的一個例子。如，光子計數噪聲和影片顆粒噪聲。 （ 2） 重尾噪聲 很多情況下，中心極限定理的條件都只是差不多滿足而不是十分滿足和函數中的項可能不是足夠的多，或者那些項不是充分的獨立，或者其中小部分的項對和提供的數據不均衡。 “重尾”就是對于值很大的 x，其密度 )(xPn 趨近 0的速度比高斯型慢很 多。大多數時間，中心極限定理的條件還是很好的被滿足，而噪聲也是高斯型。這種噪聲影響就像少量黑白點 —— 即鹽粒和胡椒粉在圖像上。在圖像中，量化噪聲常常出現在數據收集過程。均衡噪聲與上面所討論的重尾噪聲的完全相反。有連續不變顏色的很大區域被清晰的邊界分隔。那么， a 的分布函數常被模擬為參數為 ? 的泊松 分布。而此時泊松分布就與均值和方差值都等于 ? 的高斯分布很接近。當燈光打在膠片上的時候，有些晶粒吸收光子而有些卻沒有，那些吸收了光子的微粒改變了樣子變成了金屬銀。 (7) CCD 成像 大約在過去的 20 年， CCD（電荷耦合裝置）成像已經作為主流的成像形式取代了攝影成像。過后，這些電子被“讀出”裝置計算出來。信噪比（忽略其他噪聲的影響）是 ??? ? 。它依賴于信號，非高斯，且與空間相關。這種變異被稱為相干光引起的散斑。近年來，消除大氣引起的斑紋（“閃爍”）的最好方法是將觀察者移出大氣層，也就是說，移到太空。 常用濾波器 當一幅圖像被加性噪聲污染 時，其表達形式為 : ),(),(),( yxnyxfyxg ?? (38) 通常可以選擇空域濾波的方法進行去噪處理。下面分別予以介紹。 整個圖像濾波中的線性估計更加復雜，有兩個重要的原因：第一，噪聲可能不是獨立同一分布， 第二，更常見的是無噪圖像沒有被很好的模擬為恒值。幾何均值濾波器所達到的平滑度可以與算法均 值濾波器相比但在濾波過程中會丟失更少的圖像細