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高中數學人教a版選修2-1313空間向量的數量積運算知能演練輕松闖關-資料下載頁

2025-11-26 06:40本頁面

【導讀】③c－b不與c垂直；〈AB→，C′A′→〉＝180°－〈AB→，AC→〉＝135°；〈AB→，A′D′→〉＝〈AB→，AD→〉＝90°；〈AB→，B′A′→〉＝180°.i、j、k是兩兩垂直的單位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，則a·b等于________．。解析：a·b＝·＝2i2－j2－3k2＝－2.解析：由正方體知BC′∥AD′，∴〈AD′→，BC′→〉＝0，又|AD′→|＝|BC′→|＝2，所以AD′→·BC′→。解析：選m·n＝m·＝λm·a＋μm·b＝0，所以m⊥n.a、b是平面α內的兩個不相等的非零向量，非零向量c是直線l的一個方向向量，解析：選a與b不共線時，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；當a與b為共線向量時，＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.EF→·BD→＝12BD→·BD→＝12.∴∠CBD為銳角，同理，∠BCD與∠BDC均為銳角，∴CE→＝b＋12c，A′D→＝－c＋12b－12a.

　　

【正文】－ 12a. ∴ CE→ A′ D→ ＝－ 12c2＋ 12b2＝ 0. ∴ CE→ ⊥ A′ D→ ，即 CE⊥ A′D. (2)AC′→ ＝－ a＋ c， ∴ |AC′→ |＝ 2|a|，又 |CE→ |＝ 52 |a|， AC′→ CE→ ＝ (－ a＋ c)?? ??b＋ 12c ＝ 12c2＝ 12|a|2， ∴ cos〈 AC′→ ， CE→ 〉＝12|a|22 52 |a|2＝ 1010 . 即異面直線 CE 與 AC′所成角的余弦值為 1010 . 11.(創新題 )如圖所示，已知空間四邊形 ABCD 的各邊和對角線的長都等于 a，點 M、 N 分別是 AB、 CD 的中點． (1)求證： MN⊥ AB， MN⊥ CD； (2)求 MN 的長．解： (1)證明：連接 AN(圖略 )．設 AB→ ＝ p， AC→ ＝ q， AD→ ＝ r. 由題意可知， |p|＝ |q|＝ |r|＝ a，且 p、 q、 r 三向量兩兩夾角均為 60176。 . MN→ ＝ AN→ － AM→ ＝ 12(AC→ ＋ AD→ )－ 12AB→ ＝ 12(q＋ r－ p)， ∴ MN→ AB→ ＝ 12(q＋ r－ p)p ＝ 12(qp＋ rp－ p2) ＝ 12(a2cos 60176。＋ a2cos 60176。－ a2)＝ 0. ∴ MN⊥ AB，同理可證 MN⊥ CD. (2)由 (1)可知 MN→ ＝ 12(q＋ r－ p)． ∴ |MN→ |2＝ 14(q＋ r－ p)2 ＝ 14[q2＋ r2＋ p2＋ 2(qr－ pq－ rp)] ＝ 14?? ??a2＋ a2＋ a2＋ 2?? ??a22－a22－a22 ＝ 14 2a2＝ a22. ∴ |MN→ |＝ 22 a， ∴ MN 的長為 22 a.

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