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浙江省紹興市20xx屆高三數學一模試卷word版含解析-資料下載頁

2025-11-26 15:59本頁面

【導讀】2．已知i是虛數單位，復數z=，則z?8．向量，滿足||=4，?（﹣）=0，若|λ﹣|的最小值為2（λ∈R），10．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AB的中點為P，若光線從點P出發，13．已知等差數列{an}，等比數列{bn}的前n項和為Sn，Tn，若Sn=n2+n，14．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A=，b=，15．將3個男同學和3個女同學排成一列，若男同學甲與另外兩個男同學不相鄰，（Ⅰ）求f的最小正周期；19．如圖，已知三棱錐P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅰ）證明：an＞1；解：由題意知，A={x∈R||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}=，B={x∈R|x+1≥0}={x|x≥﹣1}=[﹣1，+∞），解：a=0時，f=x2+b為偶函數，是充分條件，則ab＜b不成立，a＞b不一定成立，

　　

【正文】解：（ Ⅰ ）當 a=2， b=0 時， f（ x） = x3﹣ 2x2+3x，求導， f′（ x） =x2﹣ 4x+3=（ x﹣ 1）（ x﹣ 3），當 x∈ （ 0， 1）時， f′（ x）＞ 0，故函數 f（ x）在（ 0， 1）上單調遞增，當 x∈ （ 1， 3）時， f′（ x）＜ 0，故函數 f（ x）在（ 1， 3）上單調遞減，由 f（ 0） =f（ 0） =0， f（ 1） = ， ∴ f（ x）在 [0， 3]上的值域為 [0， ]；（ Ⅱ ）由 f′（ x） =x2﹣ 2ax+3，則 △ =4a2﹣ 12， ① 當 △≤ 0，即 a2≤ 3 時， f′（ x） ≥ 0， f（ x）在 R 上單調遞增，滿足題意， ② 當 △＞ 0，即 a2＞ 3 時，方程 f′（ x） =0 有兩根，設兩根為 x1， x2，且 x1＜ x2，則 x1+x2=2a， x1x2=3，則 f（ x）在（﹣ ∞ ， x1），（ x2， +∞ ）上單調遞增，在（ x1， x2）上單調遞減，由題意可知丨 f（ x1）﹣ f（ x2）丨 ≤ ， ∴ 丨 ﹣ a（ x12﹣ x22） +3（ x1﹣ x2）丨 ≤ ，化簡得：（ a2﹣ 3） ≤ ，解得： 3＜ a2≤ 4，綜合 ①② ，可得 a2≤ 4，解得：﹣ 2≤ a≤ 2． a 的取值范圍 [﹣ ]． 21．已知點 A（﹣ 2， 0）， B（ 0， 1）在橢圓 C： + =1（ a＞ b＞ 0）上．（ Ⅰ ）求橢圓 C 的方程；（ Ⅱ ） P 是線段 AB 上的點，直線 y= x+m（ m≥ 0）交橢圓 C 于 M、 N 兩點，若△ MNP 是斜邊長為的直角三角形，求直線 MN 的方程．【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（ Ⅰ ）由直線可知：橢圓的焦點在 x 軸上，又過點 A， B，即可求得 a 和b 的值，求得橢圓方程；（ Ⅱ ）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式求得丨 MN 丨，分類，當 MN 為斜邊時， = ，即可求得 m=0，滿足題意，當 MN 為直角邊時，兩平行線 AB 與 MN 的距離 d= 丨 m﹣ 1 丨，利用勾股定理即可求得 m 的值，求得直線方程．【解答】解：（ Ⅰ ）由題意可知：橢圓 C： + =1（ a＞ b＞ 0）焦點在 x 軸上，由點 A（﹣ 2， 0）， B（ 0， 1），則 a=2， b=1， ∴ 橢圓的標準方程：；（ Ⅱ ）設 M（ x1， y1）， N（ x2， y2），則，消去 y，整理得 x2+mx﹣ 1=0，則 △ =2﹣ m2＞ 0， x1+x2=﹣ 2m， x1x2=2m2﹣ 2，則丨 MN 丨 = 丨 x1﹣ x2 丨 = ， ① 當 MN 為斜邊時， = ，解得： m=0，滿足 △＞ 0，此時直線 MN 為直徑的圓方程為 x2+y2= ，點 A（﹣ 2， 0） B（ 0， 1）分別在圓外和圓內，即在線段 AB 上存在點 P．此時直線 MN 的方程誒 y= x，滿足題意， ② 當 MN 為直角邊時，兩平行線 AB 與 MN 的距離 d= 丨 m﹣ 1 丨， ∴ d2+丨 MN 丨 2= 丨 m﹣ 1 丨 2+（ 10﹣ 5m2） =10，即 21m2+8m﹣ 4=0，解得： m= ， m=﹣ （舍），由 △＞ 0，則 m= ，過點 A 作直線 MN： y= x+ 的垂線，可得滿足坐標為（﹣ ，﹣ ），垂足在橢圓外，即在線段 AB 上存在點 P， ∴ 直線 MN 的方程為 y= x+ ，符合題意，綜上可知：直線 MN 的方程為： y= x 或 y= x+ ． 22．已知數列 {an}滿足 an＞ 0， a1=2，且（ n+1） an+12=nan2+an（ n∈ N*）．（ Ⅰ ）證明： an＞ 1；（ Ⅱ ）證明： + +…+ ＜（ n≥ 2）．【考點】數列與不等式的綜合；數列遞推式．【分析】（ Ⅰ ）根據數列的遞推關系可得（ n+1）（ an+1+1）（ an+1﹣ 1） =（ an﹣ 1）（ nan+n+1），再根據 an＞ 0，可得 an+1﹣ 1 與 an﹣ 1 同號，問題得以證明，（ Ⅱ ）先判斷出 1＜ an≤ 2，再得到 an2≤ ， n≥ 2，利用放縮法得到 ≤ 2（﹣ ） +（ ﹣ + ），再分別取 n=2， 3，以及 n≥ 4 即可證明．【解答】證明：（ Ⅰ ）由題意得（ n+1） an+12﹣（ n+1） =nan2﹣ n+an﹣ 1， ∴ （ n+1）（ an+1+1）（ an+1﹣ 1） =（ an﹣ 1）（ nan+n+1），由 an＞ 0， n∈ N*， ∴ （ n+1）（ an+1+1）＞ 0， nan+n+1＞ 0， ∴ an+1﹣ 1 與 an﹣ 1 同號， ∵ a1﹣ 1=1＞ 0， ∴ an＞ 1；（ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知，故（ n+1） an+12=nan2+an＜（ n+1） an2， ∴ an+1＜ an， 1＜ an≤ 2，又由題意可得 an=（ n+1） an+12﹣ nan2， ∴ a1=2a22﹣ a12， a2=3a32﹣ 2a22， …， an=（ n+1） an+12﹣ nan2，相加可得 a1+a2+…+an=（ n+1） an+12﹣ 4＜ 2n， ∴ an+12≤ ，即 an2≤ ， n≥ 2， ∴ ≤ 2（ + ） ≤ 2（ ﹣ ） +（ ﹣ + ）， n≥ 2，當 n=2 時， = ＜，當 n=3 時， + ≤ ＜＜，當 n ≥ 4 時， + +…+ ＜ 2（ + + + ） +（ + + ﹣ ）=1+ + + + + ＜，從而，原命題得證 2017 年 3 月 30 日

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