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河北省唐山市20xx屆高三下學期第一次模擬考試數學理試題word版含解析-wenkub.com

2025-11-13 00:15 本頁面

　　

【正文】 1 ． 21. 已知函數， . （ 1）設，求的最小值；（ 2）證明：當時，總存在兩條直線與曲線與都相切 . 【答案】 (1) x＝－ 1 時， F(x)取得最小值 F(－ 1)＝－ (2) 見解析【解析】試題分析：（ 1）對函數求導，研究函數的單調性，得到最小值；（ 2）根據公切線的定義得到 (t－ 1)et－ 1－ t＋ a＝ 0 有兩個根即可，研究這個函數的單調性和圖像，得到這個圖像和x軸有兩個交點 . 解析：（Ⅰ） F?(x)＝ (x＋ 1)ex－ 1，當 x＜－ 1 時， F?(x)＜ 0， F(x)單調遞減；當 x＞－ 1 時， F?(x)＞ 0， F(x)單調遞增，故 x＝－ 1 時， F(x)取得最小值 F(－ 1)＝－．（Ⅱ ）因為 f?(x)＝ ex－ 1，所以 f(x)＝ ex－ 1在點 (t， et－ 1)處的切線為 y＝ et－ 1x＋ (1－ t)et－ 1；因為 g?(x)＝，所以 g(x)＝ lnx＋ a 在點 (m， lnm＋ a)處的切線為 y＝ x＋ lnm＋ a－ 1，由題意可得則 (t－ 1)et－ 1－ t＋ a＝ 0．令 h(t)＝ (t－ 1)et－ 1－ t＋ a，則 h?(t)＝ tet－ 1－ 1 由（ Ⅰ ）得 t＜－ 1時， h?(t)單調遞減，且 h?(t)＜ 0；當 t＞－ 1 時， h?(t)單調遞增，又 h?(1)＝ 0， t＜ 1 時， h?(t)＜ 0，所以，當 t＜ 1 時， h?(t)＜ 0， h(t)單調遞減；當 t＞ 1 時， h?(t)＞ 0， h(t)單調遞增．由（ Ⅰ ）得 h(a－ 1)＝ (a－ 2)ea－ 2＋ 1≥－＋ 1＞ 0，又 h(3－ a)＝ (2－ a)e2－ a＋ 2a－ 3＞ (2－ a)(3－ a)＋ 2a－ 3＝ (a－ )2＋＞ 0， h(1)＝ a－ 1＜ 0，所以函數 y＝ h(t)在 (a－ 1， 1)和 (1， 3－ a)內各有一個零點，故當 a＜ 1 時，存在兩條直線與曲線 f(x)與 g(x)都相切．點睛：本題考查了導數的綜合應用問題，解題時應根據函數的導數判定函數的增減性以及求函數的極值和最值，應用分類討論法，構造函數等方法來解答問題．對于函數恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉化為函數最值問題；或者直接求函數最值，使得函數最值大于或者小于 0；或者分離成兩個函數，使得一個函數恒大于或小于另一個函數 . （二）選考題：共 10 分 .請考生在（ 22）、（ 23）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 . 22. 選修 44：坐標系與參數方程在直角坐標系中，圓：，圓： .以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系 . （ 1）求，的極坐標方程；（ 2）設曲線：（為參數且），與圓，分別交于，，求的最大值 . 【答案】 (1) ρ＝ 2cosθ； ρ＝ 6cosθ(2) 當 α＝ 177。＝－ 1，又 b2＋ c2＝ 6. 解得 c＝ 2， b＝．所以，橢圓 Γ的方程為＋＝ 1．（ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）得 A(0， )，依題意，顯然 m≠0，所以 kAM＝－，又 AM⊥ BM，所以 kBM＝，所以直線 BM 的方程為 y＝ (x－ m)，設 P(x1， y1)， Q(x2， y2)． y＝ (x－ m)與＋＝ 1聯立得 (2＋ 3m2)x2－ 6m3x＋ 3m4－ 12＝ 0， x1＋ x2＝， x1x2＝． |PM|kBF＝ 1，進而求出橢圓方程；（ 2）由AP⊥ AQ 得， |AM|2＝ |PM| 可知 P 在平面 ABC 上的射影 G 為 △ ABC 的外心，即 AC 中點，則球的球心在 PG 的延長線上，設 PG=h，則 O

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