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高二數學三角函數的誘導公式-文庫吧資料

2025-11-13 17:43本頁面

　　

【正文】 α ＝ 177。＝sin15176。＋ 15176。＝ 1 － a2， ∴ tan 195176。， ∴ c os15176。－ 15176。＝ ________. [ 解析 ] a ＝ c os165176。 c os3α＝ 1. ? [分析 ] 先觀察角的特點，選用恰當的誘導公式化簡，然后依據同角關系式求解．設 k 為整數，則sin ( k π － α ) c os[ ( k － 1 ) π － α ]sin[ ( k ＋ 1 ) π ＋ α ] c os ( k π ＋ α )＝ ________. ? [答案 ] － 1 ? [分析 ] 由于 k的奇偶性影響到 sin(kπ－ α)，cos(kπ＋ α)等的結果，故應對 k分奇偶討論． [ 解析 ] 法 1 ：當 k 為偶數時，設 k ＝ 2 m ( m ∈ Z ) ，則原式＝sin ( 2 m π － α ) c os[ ( 2 m － 1 ) π － α ]sin[ ( 2 m ＋ 1 ) π ＋ α ] c os ( 2 m π ＋ α ) ＝sin ( － α ) c os ( π ＋ α )sin ( π ＋ α ) c os α ＝( － sin α ) ( － c os α )－ sin α c os α＝－ 1 ；當 k 為奇數時，可設 k ＝ 2 m ＋ 1( m ∈ Z ) ，仿上可得，原式＝－ 1. 法 2 ：由 ( k π ＋ α ) ＋ ( k π － α ) ＝ 2 k π 及 [( k － 1) π － α ] ＋ [( k ＋ 1) π ＋ α ] ＝ 2 k π 得， sin( k π － α ) ＝－ sin( k π ＋ α ) ， c os[ ( k － 1) π － α ] ＝ c os[ ( k ＋ 1) π ＋ α ] ＝－ c os( k π ＋ α ) ， sin[ ( k ＋ 1) π ＋ α ] ＝－ sin( k π ＋ α ) ．故原式＝－ sin ( k π ＋ α ) [ － c os ( k π ＋ α ) ]－ sin ( k π ＋ α ) c os ( k π ＋ α )＝－ 1. [ 例 3] 已知1 ＋ tan α1 － tan α＝ 3 ＋ 2 2 . 求 c os2(π － α ) ＋ sin(π ＋α )c os( π － α ) ＋ 2sin2( α － π) 的值． ? [分析 ] 由已知出發可求出 tanα的值，利用誘導公式可把被求式轉化為含 sinα與 cosα的齊次式，這樣進行適當的變形后可將其表示為關于 tanα的表示式，代入值即可求解． [ 解析 ] 解關于 tan α 的方程1 ＋ tan α1 － tan α＝ 3 ＋ 2 2 得， tan α ＝22. ∴ c os2(π － α ) ＋ sin( π ＋ α ) c os( π － α ) ＋ 2sin2( α － π) ＝ c os2α ＋ sin α c os α ＋ 2si n2α ＝c os2α ＋ sin α c os α ＋ 2sin2αc os2α ＋ sin2α ＝1 ＋ tan α ＋ 2ta n2α1 ＋ tan2α＝1 ＋22＋ 11 ＋12＝4 ＋ 23. ? [點評 ] 已知某式的三角函數值，求其它式子的三角函數值，關鍵是尋求已知式與被求式的內在聯系，恰當選擇公式，體現了把未知問題轉化為已知問題的數學思想． [ 答案 ] －1 － a2a ? 若 cos165176。 ( － c os α )3sin αc os α＝ sin2α . (2) 原式＝( － sin α )2

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